Een binominale verdeling is een discrete kansverdeling die het aantal successen beschrijft bij het uitvoeren van n onafhankelijke experimenten op een willekeurige variabele..
Er is een grote diversiteit aan experimenten of gebeurtenissen die onder deze kansverdeling kunnen worden gekarakteriseerd. Stelt u zich een toss voor waarin we de gebeurtenis "hoofden slaan" als succes definiëren. Als we de munt 5 keer opgooien en de hits (heads) tellen die we krijgen, zou onze kansverdeling passen in een binominale verdeling.
Daarom wordt de binominale verdeling opgevat als een reeks tests of proeven waarin we slechts 2 uitkomsten kunnen hebben (succes of mislukking), waarbij succes onze willekeurige variabele is.
Eigenschappen van de binominale verdeling
Om een willekeurige variabele te beschouwen als een binominale verdeling, moet deze aan de volgende eigenschappen voldoen:
- In elke proef, experiment of test zijn slechts twee uitkomsten (succes of mislukking) mogelijk.
- De kans op succes moet constant zijn. Dit wordt weergegeven door de letter p. De kans dat een munt op de kop slaat is 0,5 en dit is constant omdat de munt niet in elk experiment verandert en de kansen op een kop constant zijn.
- De faalkans moet ook constant zijn. Dit wordt weergegeven door de letter q = 1-p. Het is belangrijk op te merken dat we door middel van deze vergelijking, als we p of q kennen, degene kunnen krijgen die we missen.
- Het resultaat dat in elk experiment wordt verkregen, is onafhankelijk van het vorige. Wat er in elk experiment gebeurt, heeft daarom geen invloed op de volgende.
- De gebeurtenissen sluiten elkaar uit, dat wil zeggen dat ze niet tegelijkertijd kunnen plaatsvinden. Het is niet mogelijk om tegelijkertijd een man en een vrouw te zijn of dat bij het opgooien van een munt er tegelijkertijd kop en munt uitkomt.
- De gebeurtenissen zijn collectief uitputtend, dat wil zeggen dat er minstens één van de 2 moet plaatsvinden. Als je geen man bent, ben je een vrouw en als je een munt opgooit, als het niet met de kop omhoog komt, moet het wel munt zijn.
- De willekeurige variabele die volgt op een binominale verdeling wordt meestal weergegeven als X ~ (n, p), waarbij n staat voor het aantal proeven of experimenten en p voor de kans op succes.
Formule van de binominale verdeling
De formule om de normale verdeling te berekenen is:
Waar:
n = Aantal proeven/experimenten
x = Aantal successen
p = Kans op succes
q = kans op falen (1-p)
Het is belangrijk op te merken dat de uitdrukking tussen vierkante haken geen matrixuitdrukking is, maar het resultaat is van een combinatorisch zonder herhaling. Dit wordt verkregen met de volgende formule:
Het uitroepteken in de voorgaande uitdrukking vertegenwoordigt het faculteitssymbool.
Voorbeeld van binominale distributie
Laten we ons voorstellen dat 80% van de mensen in de wereld de laatste wedstrijd van het laatste WK voetbal heeft gezien. Na het evenement ontmoeten 4 vrienden elkaar om te praten Wat is de kans dat 3 van hen het spel hebben gezien?
Laten we de variabelen van het experiment definiëren:
n = 4 (is de totale steekproef die we hebben)
x = aantal successen, wat in dit geval gelijk is aan 3, aangezien we de kans zoeken dat 3 van de 4 vrienden het hebben gezien.
p = kans op succes (0,8)
q = faalkans (0,2). Dit resultaat wordt verkregen door 1-p af te trekken.
Nadat we al onze variabelen hebben gedefinieerd, vervangen we eenvoudigweg de formule.
De teller van de faculteit zou worden verkregen door 4 * 3 * 2 * 1 = 24 te vermenigvuldigen en in de noemer zouden we 3 * 2 * 1 * 1 = 6 hebben. Daarom zou het resultaat van de faculteit 24/6 = 4 zijn .
Buiten de haak hebben we twee cijfers. De eerste zou 0,8 3 = 0,512 zijn en de tweede 0,2 (aangezien 4-3 = 1 en elk getal dat tot 1 wordt verhoogd, hetzelfde is).
Daarom zou ons eindresultaat zijn: 4 * 0,512 * 0,2 = 0,4096. Als we vermenigvuldigen met 100, hebben we een kans van 40,96% dat 3 van de 4 vrienden de WK-finale hebben gezien.