De vereniging van gebeurtenissen is een operatie waarvan het resultaat is samengesteld uit alle niet-herhaalde elementaire gebeurtenissen die twee of meer verzamelingen gemeen hebben en niet gemeen hebben.
Dat wil zeggen, gegeven twee verzamelingen A en B, zou de vereniging van A en B worden gevormd door alle niet-herhalende verzamelingen die A en B hebben. Intuïtief zou de waarschijnlijkheid van de vereniging van gebeurtenissen van A en B impliceren dat er wordt gereageerd op de vraag: Wat is de kans dat A eruit komt of dat B eruit komt?
Het symbool voor de vereniging van gebeurtenissen is U. Op zo'n manier dat als we de vereniging van twee gebeurtenissen B en D wiskundig willen opmerken, we het zouden opmerken als: B U D.
Evenement unie generalisatie
Tot dusver hebben we de vereniging van twee gebeurtenissen gezien en aangegeven. Bijvoorbeeld A U B of B U D. Maar wat als we drie, vier en zelfs honderd evenementen hebben?
Dit is wat we generalisatie noemen, dat wil zeggen een formule die ons helpt om de werking van de unie van gebeurtenissen in deze gevallen op te merken. Als we 8 gebeurtenissen hebben, gebruiken we in plaats van de tien gebeurtenissen te schrijven de volgende notatie:
In plaats van elke gebeurtenis A, B of welke letter dan ook te noemen, gaan we Ja noemen. S is de gebeurtenis en het subscript i geeft het nummer aan. Op zo'n manier dat we, toegepast op het voorbeeld van 10 gebeurtenissen, het volgende hebben:
Wat we hebben gedaan, is de vorige notatie toepassen en ontwikkelen. Nu zullen we dat niet altijd nodig hebben. Zeker als het om een groot aantal evenementen gaat.
Vereniging van disjuncte en niet-disjuncte gebeurtenissen
Wat het concept van onsamenhangende gebeurtenissen aangeeft, is dat twee gebeurtenissen geen elementen gemeen hebben.
Als ze onsamenhangend zijn, is de gebeurtenis-uniebewerking eenvoudig. Je hoeft alleen de kansen van beide bij elkaar op te tellen om de kans te krijgen dat de ene of de andere gebeurtenis plaatsvindt. Wanneer de gebeurtenissen echter niet onsamenhangend zijn, moet een klein detail worden toegevoegd. Herhaalde elementen moeten worden geëlimineerd. Bijvoorbeeld:
Stel dat een resultaatruimte van 1 tot 5 loopt. De gebeurtenissen zijn als volgt:
Gebeurtenis A: (1,2,4) -> 60% kans = 0,6
Gebeurtenis B: (1,4,5) -> 60% kans = 0,6
De operatie A U B zou intuïtief zijn om de gebeurtenissen van A en de gebeurtenissen van B op te tellen, maar als we dit doen, zou de kans 1,2 (0,6 + 0,6) zijn. En zoals de kansaxioma's aangeven, moet de kans altijd tussen 0 en 1 liggen. Hoe lossen we dat op? Het snijpunt van gebeurtenissen A en B aftrekken. Dat wil zeggen, de elementen verwijderen die worden herhaald:
A + B = (1,1,2,4,4,5)
A B = (1,4)
A U B = A + B - (A ∩ B) = (1,2,4,5)
Wat betreft kansen, we zouden moeten:
P (A U B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B) = 0,6 +0,6 - 0,4 = 0,8 (80%)
De kans dat 1 of 2 of 4 of 5 zal voorkomen, is inderdaad 80%.
Grafisch zou het er als volgt uitzien:
Eigenschappen van evenementvereniging
De vereniging van gebeurtenissen is een soort wiskundige bewerking. Sommige soorten bewerkingen zijn ook optellen, aftrekken, vermenigvuldigen. Elk van hen heeft een reeks eigenschappen. We weten bijvoorbeeld dat het resultaat van het optellen van 3 + 4 precies hetzelfde is als dat van het optellen van 4 +3. Op dit moment heeft de evenementenvereniging verschillende eigenschappen die het waard zijn om te weten:
- commutatief: Het betekent dat de volgorde waarin het is geschreven het resultaat niet verandert. Bijvoorbeeld:
- A U B = B U A
- C U D = D U C
- associatief: Ervan uitgaande dat er drie evenementen zijn, maakt het ons niet uit welke we eerst moeten doen en welke als volgende. Bijvoorbeeld:
- (A U B) U C = A U (B U C)
- (A U C) U B = (A U B) U C
- distributief: Wanneer we het type bewerking van het snijpunt opnemen, geldt de distributieve eigenschap. Kijk maar naar het volgende voorbeeld:
- A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
Voorbeeld van evenementvereniging
Een eenvoudig voorbeeld van de vereniging van twee gebeurtenissen A en B zou het volgende zijn. Veronderstel het geval van het opgooien van een perfecte dobbelsteen. Een dobbelsteen met zes vlakken genummerd van 1 tot 6. Op zo'n manier dat de gebeurtenissen hieronder worden gedefinieerd:
NAAR: Dat het groter is dan 2. (3,4,5,6) in waarschijnlijkheid is 4/6 => P (A) = 0,67
C: Laat er vijf uitkomen. (5) in waarschijnlijkheid is 1/6 => P (C) = 0.17
Wat is de kans op A U C?
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C)
Omdat P (A) en P (C) het al hebben, gaan we P (A ∩ C) berekenen
A ∩ C = (5) in kansen P (A ∩ C) = 1/6 = 0,17
Het eindresultaat is:
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C) = 0,67 + 0,17 - 0,17 = 0,67 (67%)
De kans dat het meer dan 2 gooit of dat het 5 gooit is 67%.