Kansfunctie van de Bernoulli-verdeling
De Bernoulli-verdeling is een theoretisch model dat wordt gebruikt om een discrete willekeurige variabele weer te geven die slechts kan eindigen in twee elkaar uitsluitende resultaten.
Aanbevolen artikelen: Bernoulli-verdeling, Bernoulli-voorbeeld, steekproefruimte en de regel van Laplace.
Bernoulli-kansfunctie
We definiëren z als de willekeurige variabele Z, eenmaal bekend en vast. Dat wil zeggen, Z verandert willekeurig (de dobbelsteen draait en draait in een enkele worp), maar als we het observeren, bepalen we de waarde (wanneer de dobbelsteen op de tafel valt en een specifiek resultaat geeft). Het is op dat moment dat we het resultaat evalueren en het een (1) of nul (0) toekennen, afhankelijk van wat we als "succes" of niet "succes" beschouwen.
Als de willekeurige variabele Z eenmaal is ingesteld, kan deze slechts twee specifieke waarden aannemen: nul (0) of één (1). Dan is de kansverdelingsfunctie van de Bernoulli-verdeling alleen niet-nul (0) als z nul (0) of één (1) is. Het tegenovergestelde geval zou zijn dat de verdelingsfunctie van de Bernoulli-verdeling nul (0) is, aangezien z een andere waarde zal zijn dan nul (0) of één (1).
De bovenstaande functie kan ook worden herschreven als:
Als we z = 1 in de eerste formule van de kansfunctie vervangen, zullen we zien dat het resultaat p is, wat samenvalt met de waarde van de tweede kansfunctie als z = 1. Evenzo, wanneer z = 0 krijgen we (1-p) voor elke waarde van p.
Momenten van de functie
De momenten van een verdelingsfunctie zijn specifieke waarden die de verdelingsmaat in verschillende mate vastleggen. In deze paragraaf laten we alleen de eerste twee momenten zien: de wiskundige verwachting of verwachte waarde en de variantie.
Eerste moment: verwachte waarde.
Tweede moment: variantie.
Voorbeeld van Bernouilli-momenten
We veronderstellen dat we de eerste twee momenten van een Bernoulli-verdeling willen berekenen gegeven een kans p = 0,6 zodanig dat
Waar D een discrete willekeurige variabele is.
We weten dus dat p = 0,6 en dat (1-p) = 0,4.
- Eerste moment: verwachte waarde.
Tweede moment: variantie.
Verder willen we de verdelingsfunctie berekenen gegeven de kans p = 0,6. Dan:
Gegeven de kansfunctie:
Wanneer z = 1
Wanneer z = 0
De blauwe kleur geeft aan dat de delen die samenvallen tussen beide (equivalente) manieren om de kansverdelingsfunctie van de Bernoulli-verdeling uit te drukken.
