De evenwichtsmodellen op rentevoeten zijn evenwichtsmodellen gebaseerd op een Browniaans geometrisch proces en op de risiconeutraliteit van korte rentevoeten.
Met andere woorden, evenwichtsrentemodellen gebruiken kortere rentetarieven om toekomstige rentetarieven te berekenen, rekening houdend met de termijnstructuur van rentetarieven.
Als referentie voor de korte rente gebruiken we de rentetarieven van de nulcouponobligaties. Een voorbeeld zijn Spaanse schatkistcertificaten die op korte termijn worden uitgegeven.
Aanbevolen items: nulcouponobligatie, optie en mean reversion.
De tijdsstructuur van de koersen van nulcouponobligaties wordt verkregen uit het Brownse geometrische proces dat oneindig kleine veranderingen in de kortetermijnrente vastlegt.
Nulcoupon-obligatiekoersen worden gebruikt om de prijs van nulcoupon-obligatie-opties en coupon-obligatie-opties te waarderen.
Dus om toekomstige nulcoupon-obligatiekoersen te berekenen, hebben we korte-termijn nulcouponrentetarieven nodig. Op deze manier kunnen we ook de curve- of tijdstructuur van nulcouponrentes bouwen. Zodra we de curve hebben, kunnen we de evolutie van de lange rente bepalen, gegeven de korte rente.
Termijnstructuur of rentecurve van de nulcouponobligaties berekend op basis van het Vasicek-model:
Aannames in evenwichtsmodel over rentetarieven
De aannames van het model zijn:
- Risiconeutraliteit.
We gaan uit van neutraal risico als de klassieke aanname voor activawaardering op financiële markten. Deze aanname is de sleutel tot het verkrijgen van de prijs van een obligatie met behulp van Monte Carlo-simulatie.
- Log-normale verdeling van obligaties en rentetarieven.
We gaan uit van de log-normale verdeling omdat we rentetarieven als een positieve variabele stellen, zoals de obligatiekoersen. Het zou geen zin hebben om negatief geprijsde obligaties te evalueren. Als we uitgaan van een log-normale verdeling van de rentetarieven, kunnen we zeggen dat de rentetarieven een geometrisch proces van Brown zullen volgen. Als de verdeling van rentetarieven een normale verdeling zou zijn, dan zouden we zeggen dat rentetarieven een Browniaans rekenkundig proces volgen.
Enkele factor evenwichtsmodellen
Single-factor evenwichtsmodellen zijn modellen voor het berekenen van de termijnstructuur van rentetarieven uit korte rentetarieven.
We spreken van één enkele factor, aangezien het risico of de onzekerheid wordt bepaald door één enkele factor: de volatiliteit van de rentetarieven. Er zijn twee-factor evenwichtsmodellen die meer mogelijkheden bieden bij rentebewegingen.
Wiskundig definiëren we een evenwichtsmodel met één factor van de vorm:
Waar,
- r (t): korte rente op een tijdstip t.
- dr: verandering in rentetarieven (r) in de tijd (dt).
- dt: tijdsverloop = evolutie van de tijd.
- m (r) dt: richting of trend (m) genomen door rentevoeten (r) in de tijd (dt).
- s (r): standaarddeviatie van rentetarieven (r).
- dZ: willekeurige component of stoornis die volgt op een normale verdeling met gemiddelde 0 en variantie 1.
De bovenstaande uitdrukking staat bekend als a stochastische differentiaalvergelijking uitgedrukt via het Itô-proces.
Modeltypen
De meest voorkomende een-factor evenwichtsmodellen zijn:
- Rendleman en Bartter-model.
- Vasicek-model.
- Cox, Ingresoll en Ross-model.