Met combinatoriek zonder herhaling worden de verschillende verzamelingen bedoeld die kunnen worden gevormd met «n» elementen, gekozen uit x in x. Elke set moet in ten minste één van zijn elementen van de vorige verschillen (de volgorde doet er niet toe) en deze kunnen niet worden herhaald.
Combinatoriek zonder herhaling wordt veel gebruikt in statistiek en wiskunde. Dit past in veel situaties in het echte leven en de toepassing ervan is vrij eenvoudig.
Neem bijvoorbeeld een student die een examen met 4 vragen heeft. Van de 4 vragen moet hij er drie kiezen: hoeveel verschillende combinaties kan de leerling maken? Als we een beetje redeneren, zouden we zien (zonder de formule daadwerkelijk toe te passen) dat de student zou kunnen kiezen hoe hij de 3 vragen op vier verschillende manieren zou beantwoorden.
- Set / optie 1: Beantwoord vragen 1,2,3.
- Set / optie 2: Beantwoord vragen 1,2,4.
- Set / optie 3: Beantwoord vragen 1,3,4.
- Set / optie 4: Beantwoord vragen 2,3,4.
Zoals we kunnen zien, kan de student 4 sets (n) van 3 elementen (x) vormen. Daarom vertelt de combinatoriek zonder herhaling ons hoe we een eindige hoeveelheid gegevens / waarnemingen kunnen vormen of groeperen, in groepen van een bepaalde hoeveelheid zonder dat een van de elementen in elke groep kan worden herhaald. Dit is het belangrijkste verschil tussen de combinatorische met herhaling (elementen in elke groep kunnen worden herhaald) en de combinatorische zonder herhaling (geen element kan in elke groep worden herhaald)
Om in dit voorbeeld te benadrukken dat er sprake is van combinatoriek zonder herhaling, aangezien de leerling er niet voor kan kiezen om een van de vragen meer dan één keer te stellen. Daarom kunnen de elementen van de sets niet worden herhaald.
In het vorige geval, aangezien het totale aantal elementen klein is en de hoeveelheid van de set hoog, is het aantal opties klein en kan het gemakkelijk worden afgeleid zonder de formule toe te passen. In het geval van rechtstreekse toepassing van de formule, zou de teller 24 (4 * 3 * 2 * 1) zijn en de noemer 6 (3 * 2 * 1 * 1) waarmee we op dezelfde manier tot de berekening zouden komen zonder na te denken over hoe we die vier vragen in sets van drie zouden kunnen groeperen.
Hoe combinatoriek te berekenen zonder herhaling?
De formule van de combinatorische zonder herhaling is:
Waar:
- nee = Totaal aantal waarnemingen
- X = Aantal geselecteerde items
Voorbeeld van combinatorisch zonder herhaling
Laten we ons een militair peloton van 12 soldaten voorstellen. De legerkapitein wil groepen van 2 soldaten vormen om op verschillende punten achter de vijandelijke linies te infiltreren, hoeveel verschillende groepen zou hij kunnen vormen?
Om het probleem op te lossen, moeten we eerst het totale aantal elementen identificeren. In dit geval zijn er in totaal 12 soldaten, dus we hebben al onze n. Omdat de kapitein groepen van 2 wil, weten we al wat onze x is. Als we dit weten, kunnen we de formule vervangen en het aantal groepscombinaties van 2 hebben.
- nee = 12
- X = 2
Bij vervanging:
Als we de faculteit voor de noemer toepassen, zouden we 12 * 11 * 10 *… * 1 = 479.001.600 hebben. Voor de noemer hebben we 2 * 1 * 10 * 9 * 8… * 1 = 7.257.600. Ons combinatorisch getal is = 479.01.600 / 7.257.600 = 66.
Zoals we kunnen zien, kan de kapitein 66 verschillende paren soldaten vormen uit de 12 die hij heeft.