Matrixvermenigvuldiging bestaat uit het lineair combineren van twee of meer matrices door hun elementen toe te voegen, afhankelijk van hun locatie binnen de oorsprongsmatrix, waarbij de volgorde van de factoren wordt gerespecteerd.
Met andere woorden, de vermenigvuldiging van twee matrices is om de matrices in een enkele matrix te verenigen door de elementen van de rijen en kolommen van de bronmatrices te vermenigvuldigen en op te tellen, rekening houdend met de volgorde van de factoren.
Aanbevolen artikelen: bewerkingen met matrices, vierkante matrix.
Matrix vermenigvuldiging
Gegeven twee matrices Z Y Y van n rijen en m kolommen:
Eigendommen
- De afmeting van de resultaatmatrix is de combinatie van de afmeting van de matrices. Met andere woorden, de dimensie van de resultaatmatrix zal de kolommen van de eerste matrix en de rijen van de tweede matrix zijn.
In dit geval zullen we vinden dat Znee (rijen van Z) is gelijk aan Ym(kolommen van Y) om ze te kunnen vermenigvuldigen. Dus als ze gelijk zijn, is de resultaatmatrix:
Voorbeelden
- We vermenigvuldigen matrices twee bij twee.
We vermenigvuldigen de matrices twee bij twee om de afmetingen van de originele matrices te behouden en het proces te vergemakkelijken.
- Matrixvermenigvuldiging is niet-commutatief.
Commutatieve eigendomsregeling
De commutatieve eigenschap vertegenwoordigt die bekende uitdrukking: de volgorde van de factoren verandert het resultaat niet.
We vinden deze eigenschap in gewone optelling en vermenigvuldiging, dat wil zeggen, wanneer we elk object dat geen matrix is, optellen en vermenigvuldigen.
Gezien het bovenstaande schema vertelt de commutatieve eigenschap ons dat als we eerst de blauwe zon vermenigvuldigen en daarna de gele zon, we hetzelfde resultaat krijgen (groene zon) alsof we eerst de gele zon vermenigvuldigen en daarna de blauwe zon.
Dus als de vermenigvuldiging van matrices de commutatieve eigenschap niet respecteert, impliceert dit dat de volgorde van de factoren Ja beïnvloedt het resultaat. Met andere woorden, we zullen de groene zon niet krijgen als we de volgorde van de gele en blauwe zonnen veranderen.
Werkwijze
We kunnen de vorige matrices vermenigvuldigen als het aantal rijen in de matrix Z is gelijk aan het aantal kolommen in de matrix Y. Namelijk, Znee = Ym.
Als is vastgesteld dat we de matrices kunnen vermenigvuldigen, vermenigvuldigen we de elementen van elke rij met elke kolom en voegen we ze zo toe dat er slechts één getal overblijft op het punt waar de vorige blauwe ovalen samenvallen.
Eerst zoeken we waar de blauwe ovalen samenvallen en dan doen we de som van de vermenigvuldigingen van de elementen.
- Voor het eerste element van de resultaatmatrix zien we dat de ovalen samenvallen waar het element z is11.
- Voor het laatste element van de resultaatmatrix zien we dat de ovalen samenvallen in het element ennm.
Theoretisch voorbeeld
Gegeven twee vierkante matrices D Y EN,
Vermenigvuldig de vorige matrices.
We beginnen met het vermenigvuldigen van de eerste rij van de matrix D met de eerste kolom van de matrix EN. Daarna doen we hetzelfde, maar behouden we de rij of kolom van elke matrix, afhankelijk van of we sommige elementen of andere willen vermenigvuldigen. We herhalen de procedure totdat we alle gaten hebben opgevuld.
Oefening
Bewijs dat de commutatieve eigenschap niet wordt vervuld in het product van matrices.