Afgeleide van een exponentiële functie
De afgeleide van een exponentiële functie is gelijk aan de afgeleide van de exponent, vermenigvuldigd met de oorspronkelijke functie en met de natuurlijke logaritme van het grondtal.
Dat wil zeggen, in wiskundige termen zouden we de volgende formule hebben:
In de bovenstaande functie is z het grondtal en y een functie van x, waarvan de afgeleide kan worden berekend zoals uitgelegd in ons artikel over de afgeleide van een functie.
We moeten niet vergeten dat een afgeleide een wiskundige functie is waarmee we de veranderingssnelheid van een (afhankelijke) variabele kunnen berekenen. Dit, wanneer een variatie is geregistreerd in een andere variabele (die de onafhankelijke zou zijn) die erop van invloed is.
Gevallen van de exponentiële functie
De exponentiële functie presenteert twee specifieke gevallen:
- Als de exponent x is, is de afgeleide hiervan 1. Daarom is de afgeleide van de exponentiële functie gelijk aan dezelfde functie maal de natuurlijke logaritme van het grondtal, zoals we hieronder zien:
- Als het grondtal de constante e is, is zijn natuurlijke logaritme 1. Daarom zou de afgeleide van de exponentiële functie gelijk zijn aan de afgeleide van de exponent maal de oorspronkelijke functie.
Voorbeelden van afgeleide van een exponentiële functie
Laten we eens kijken naar enkele uitgewerkte voorbeelden van exponentiële functies:
Nu een tweede voorbeeld, iets ingewikkelder:
Laten we nu eens kijken naar een voorbeeld waarbij de exponent een trigonometrische functie is:
