De verzamelingenleer is een tak van de wiskunde (en logica) die zich toelegt op het bestuderen van de kenmerken van verzamelingen en de bewerkingen die ertussen kunnen worden uitgevoerd.
Dat wil zeggen, verzamelingenleer is een studiegebied gericht op verzamelingen. Daarom is het verantwoordelijk voor het analyseren van zowel de attributen die ze bezitten als de relaties die ertussen kunnen worden gelegd. Dat wil zeggen, zijn unie, kruising, complement of iets anders.
We moeten niet vergeten dat een verzameling een groep elementen is, of het nu getallen, letters, woorden, functies, symbolen, geometrische figuren of andere zijn.
Om een verzameling te bepalen, wordt meestal het kenmerk gedefinieerd dat de elementen ervan gemeen hebben. Bijvoorbeeld een set A met de gehele getallen, positieve en even getallen kleiner dan 20.
EEN = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18)
Geschiedenis van de verzamelingenleer
De geschiedenis van de verzamelingenleer is terug te voeren op het werk van Georg Cantor, een Duitse wiskundige van Russische afkomst, die wordt beschouwd als de vader van deze discipline.
Van de onderwerpen die Cantor bestudeerde, vallen bijvoorbeeld die van oneindige verzamelingen en numerieke verzamelingen op.
Cantors eerste werk over de verzamelingenleer dateert van 1874. Daarnaast is het vermeldenswaard dat hij regelmatig van gedachten wisselde met de wiskundige Richard Dedekind, die bijdroeg aan de studie van natuurlijke getallen.
Numerieke sets
Numerieke sets zijn de verschillende groepen waarin getallen worden geclassificeerd op basis van hun verschillende kenmerken. Het is een abstracte constructie die een belangrijke toepassing heeft in de wiskunde.
Numerieke sets zijn complex, denkbeeldig, reëel, irrationeel, rationeel, integer en natuurlijk en kunnen worden geïllustreerd in het volgende Venn-diagram:
Complexe getallenDenkbeeldige getallenEchte getallenIrrationele nummersRationele nummersgehele getallenNatuurlijke cijfers
Stel algebra in
De algebra van verzamelingen omvat de relaties die ertussen kunnen worden vastgesteld.
Zo vallen de volgende bewerkingen op:
- Vereniging van sets: De vereniging van twee of meer sets bevat elk element dat zich in ten minste één van hen bevindt.
- Snijpunt van verzamelingen: Het snijpunt van twee of meer verzamelingen omvat alle elementen die deze verzamelingen delen of gemeen hebben.
- Verschil instellen: Het verschil van de ene verzameling ten opzichte van de andere is gelijk aan de elementen van de eerste verzameling minus de elementen van de tweede.
- Complementaire sets: Het complement van een verzameling omvat alle elementen die niet in die verzameling voorkomen (maar wel bij een andere referentieverzameling horen).
- Symmetrisch verschil: Het symmetrische verschil van twee sets omvat alle elementen die zich in de een of de ander bevinden, maar niet beide tegelijk.
- Cartesiaans product: Het is een bewerking die resulteert in een nieuwe set. Het bevat als elementen de geordende paren of de tuples (geordende reeksen) van de elementen die bij twee of meer sets horen. Ze zijn geordende paren als ze twee sets zijn en tupels als ze meer dan twee sets zijn.