De Taylor-reeks is een reeks machten die zich uitstrekt tot in het oneindige, waarbij elk van de optellingen wordt verheven tot een grotere macht dan de vorige.
Elk element van de Taylor-reeks komt overeen met de n-de afgeleide van de functie f geëvalueerd in punt a, tussen de faculteit van n (n!), En dit alles, vermenigvuldigd met x-a verheven tot de macht n.
In formele of wiskundige termen heeft de Taylor-reeks de volgende vorm:
Om de Taylorreeks beter te begrijpen, moeten we bedenken dat a een punt is op een lijn die raakt aan de functie f. Die lijn kan op zijn beurt worden uitgedrukt als een lineaire functie waarvan de helling dezelfde helling is als de functie f in punt a.
Een ander aspect om in gedachten te houden is dat f een differentieerbare functie is n keer in punt a. Als n oneindig is, is het een oneindig differentieerbare functie.
In een bepaald geval, wanneer a = 0, wordt de reeks ook de McLaurin-reeks genoemd.
Verschil tussen reeks en Taylorpolynoom
Het verschil tussen reeks en Taylorpolynoom is dat we in het eerste geval spreken van een oneindige reeks, terwijl het in het tweede geval een eindige reeks is.
Het Taylorpolynoom kan dus worden gedefinieerd als een polynoombenadering van een functie die n keer differentieerbaar is op een specifiek punt (a).
Voorbeelden uit de Taylor-serie
Enkele voorbeelden van Taylor-reeksvariaties zijn:
- Exponentiële functie:
- Goniometrische functies:
Taylor-serie toepassingen
Enkele toepassingen van de Taylor-reeks zijn:
- Grenzen analyse.
- Analyse van stationaire punten of stoelpunten in functies.
- Toepassing in de stelling van L'Hopital (om limieten op te lossen).
- Integrale schatting.
- Schatting van convergenties en divergenties van bepaalde reeksen.
- Analyse van financiële activa en producten, wanneer de prijs wordt uitgedrukt als een niet-lineaire functie.