Een symmetrische matrix is een matrix van orde n met hetzelfde aantal rijen en kolommen waarbij de getransponeerde matrix gelijk is aan de oorspronkelijke matrix.
Met andere woorden, een symmetrische matrix is een vierkante matrix en is identiek aan de matrix na het verwisselen van rijen voor kolommen en kolommen voor rijen.
Vereisten
Om een matrix een symmetrische matrix te laten zijn, moet deze aan de volgende beperkingen voldoen:
Gegeven een symmetrische matrix P van orde nt,
- Een Zijn vierkante matrix.
Het aantal rijen (n) moet gelijk zijn aan het aantal kolommen (m). Dat wil zeggen, de volgorde van de matrix moet n zijn, aangezien n = m.
- De oorspronkelijke matrix moet gelijk zijn aan zijn getransponeerde matrix.
Demonstratie:
Eigendommen
- De adjoint matrix van een symmetrische matrix is ook een symmetrische matrix.
Demonstratie:
- Het optellen of aftrekken van twee symmetrische matrices resulteert in een andere symmetrische matrix.
Demonstratie:
Gegeven twee symmetrische matrices P Y T van orde 3 verkrijgen we een andere symmetrische matrix S van de som.
Waarom wordt het een symmetrische matrix genoemd?
De eigenschap van symmetrie wordt gegeven door de elementen rond de hoofddiagonaal. Aangezien een vierkante matrix een symmetrische matrix is, zal deze altijd hetzelfde aantal elementen boven en onder de hoofddiagonaal hebben. Deze elementen zijn symmetrisch hetzelfde. Dat wil zeggen, de hoofddiagonaal werkt als een spiegel.
Bewijs van symmetrie en scheefheid van een matrix
symmetrische matrix
De brief d vertegenwoordigt de elementen van de hoofddiagonaal. De andere letters vertegenwoordigen een reëel getal. We kunnen zien dat de hoofddiagonaal werkt als een spiegel: hij reflecteert de elementen aan beide zijden. Met andere woorden, wanneer de elementen aan beide zijden van de diagonaal symmetrisch gelijk zijn, zeggen we dat de matrix P is een symmetrische matrix.
Niet-symmetrische matrix
Matrix X Het is geen symmetrische matrix omdat het geen vierkante matrix is en de getransponeerde matrix verschilt van de oorspronkelijke matrix. Bovendien heeft het ook geen hoofddiagonaal.
Identiteitsmatrix