De absolute waarde van een reëel getal is de grootte, ongeacht het teken dat eraan voorafgaat.
De absolute waarde van een getal, met andere woorden, is de waarde die het resultaat is van het elimineren van het bijbehorende teken.
Om het in meer formele termen te bekijken, hebben we de volgende voorwaarden waaraan moet worden voldaan, waarbij de x tussen twee staven betekent dat we de absolute waarde van x vinden:
| x | = x als x≥ 0
| x | = -x als x <0
Dat wil zeggen, de absolute waarde van een positief getal is hetzelfde getal. In plaats daarvan is de absolute waarde van een negatief getal gelijk aan dit getal, maar met een minteken ervoor. Dat wil zeggen, vermenigvuldigd met -1.
Ook is de absolute waarde van -10 - (-10) = 10. We moeten dus benadrukken dat de absolute waarde altijd positief is.
Eigenschappen van absolute waarde
Onder de eigenschappen van absolute waarde vallen de volgende op:
- De absolute waarde van een getal en het tegenovergestelde is hetzelfde. Dat wil zeggen, de waarde van -19 en 19 is hetzelfde: 19.
- De absolute waarde van een som is gelijk aan of kleiner dan de som van de absolute waarden van de optellingen. Dat wil zeggen, het is waar dat:
| x + y | ≤ | x | + | y |
We kunnen het bovenstaande controleren met enkele voorbeelden:
|8+9|≤|8|+|9|
|17|≤8+9
17≤17
|12-25|≤|12|+|-25|
|-13|≤12+25
13≤37
|16+31-21|≤|16|+|31|+|-21|
|26|≤16+31+21
26≤68
- Een andere eigenschap is die we de multiplicatieve eigenschap noemen. Dit vertelt ons dat de absolute waarde van een product gelijk is aan het product van de absolute waarden van de factoren. Dat wil zeggen, het volgende is waar:
| xy | = | x |. | y |
We kunnen het bovenstaande controleren in de volgende voorbeelden:
| 3 × 4 | = | 3 | x | 4 |
|12|=3×4
12=12
| 6x-5 | = | 6 | x | -5 |
|-30|=6×5
30=30
- Als tegenhanger van de multiplicatieve eigenschap hebben we die van behoud van deling, die ons vertelt dat de absolute waarde van een deling gelijk is aan het quotiënt van de absolute waarden van dezelfde elementen van de bewerking. Dit, zolang de deler niet nul is. Dat wil zeggen, het is waar dat:
| x / y | = | x | / | y |
We kunnen het in enkele voorbeelden zien:
|60/5|=|60|/|5|
|12|=60/5
12=12
|-87/3|=|-87|/|3|
|-29|=87/3
29=29
Absolute waarde in een grafiek
Laten we vervolgens eens kijken hoe een voorbeeld van absolute waarde eruit zou zien in een Cartesiaans vlak.
In dit geval hebben we een eenvoudige functie y = | x |, en we merken op dat de waarde van y altijd positief zal zijn, ongeacht de waarde van x.
