Het orthocentrum is het snijpunt van de drie hoogten van een driehoek, die zich binnen of buiten de figuur kan bevinden.
Er moet aan worden herinnerd dat de hoogte van een driehoek dat segment is dat begint bij elk hoekpunt van de driehoek en zich uitstrekt naar de tegenoverliggende zijde en een rechte hoek of 90º vormt. Dat wil zeggen, de hoogte en de respectieve zijde ervan staan loodrecht op elkaar.
In de bovenstaande figuur is punt O bijvoorbeeld het orthocentrum van de figuur, waarbij de hoogten van de driehoek CF, BE en AD zijn.
Orthocenter volgens het type driehoek
Het orthocentrum heeft, afhankelijk van het type driehoek in kwestie, verschillende kenmerken:
- Rechthoekige driehoek: Het orthocentrum van een rechthoekige driehoek valt samen met het hoekpunt dat overeenkomt met de rechte hoek. In de onderstaande figuur zijn bijvoorbeeld de hoogten BF en de driehoekssegmenten AB en BC zelf, waarbij het orthocentrum het hoekpunt B is.
Het is ook vermeldenswaard dat de hoogten AB en BC de benen zijn, dat wil zeggen de zijden die de rechte hoek vormen, terwijl AC de hypotenusa is.
- Stompe driehoek: Het orthocentrum bevindt zich buiten de driehoek wanneer het stomp is, dat wil zeggen wanneer een van de binnenhoeken van de figuur groter is dan 90º.
In de onderstaande afbeelding zijn de hoogten bijvoorbeeld AH, CI en FB, dus we zoeken naar het snijpunt van hun uitbreidingen, dat punt O zou zijn.
- Acute driehoek: Het orthocentrum bevindt zich in de figuur wanneer de driehoek scherp is, dat wil zeggen wanneer alle interne hoeken scherp of kleiner zijn dan 90º (zie de eerste afbeelding van dit artikel).
Ortische driehoek
De orthotische driehoek is er een waarvan de hoekpunten de voeten zijn van de drie hoogten van de driehoek. Zoals we in onderstaande figuur zien, is de ortische driehoek van driehoek ABC driehoek FGH.
Het is ook waar dat het orthocentrum (punt I) van driehoek ABC ook het middelpunt is van de ingeschreven cirkel (ingesloten in) de orthische driehoek.
Hoe het orthocentrum van een driehoek te vinden?
Stel dat we de vergelijking hebben van de lijnen die twee van de hoogten van een driehoek bevatten die de volgende zijn:
y = -137,7x-1941
y = 0,6x + 7
We moeten dus zoeken bij welke waarden van x en y beide lijnen samenvallen. Eerst lossen we x op door de rechterkant van elke vergelijking gelijk te stellen:
-137,7x-1941 = 0,6x + 7
-138,3x = 1948
x = -14.0853
Vervolgens lossen we voor en in een van de twee vergelijkingen op:
y = (0,6x-14,0853) +7
y = -8,4512 + 7 = -1,4512
Daarom zijn de coördinaten van het orthocentrum in het Cartesiaanse vlak (-14.0853, 1.4512)
