Fractal geometrie is die tak van geometrie die fractals bestudeert. Dit zijn complexe objecten, met een structuur die zich herhaalt wanneer we ze op verschillende schalen waarnemen.
Fractals, met andere woorden, zijn opgebouwd uit delen die vergelijkbaar zijn met het geheel en zijn onregelmatige structuren. Laten we denken aan een broccolikop, die bij het splitsen in verschillende kleinere broccoli wordt verdeeld.
Fractale meetkunde is ontstaan uit de behoefte om een betere benadering van de werkelijkheid te hebben, aangezien vlakke meetkunde en de meetkunde van de ruimte figuren en lichamen bestuderen die we in de natuur nauwelijks aantreffen.
Bedenk dat bergen geen kegels zijn en dat zelfs de piramides van Egypte, als we er goed naar kijken, bepaalde onregelmatigheden op hun oppervlak zullen hebben. Deze onvolkomenheden worden genoemd met de kwaliteit van ruwheid, en het is een kenmerk dat fractale geometrie toevoegt aan objecten, die niet langer alleen omtrek, oppervlakte en volume hebben.
Oorsprong van fractale geometrie
De oorsprong van fractale meetkunde is ontwikkeld door de wiskundige Benoit Mandelbrot, evenals zijn grootste literaire werk: "Fractal Geometry of Nature", gepubliceerd in 1982.
Het woord fractal komt van het Latijnse woord "fractus", wat gebroken of gebroken betekent, en werd in 1975 bedacht door Mandelbrot.
Het is vermeldenswaard dat, hoewel Mandelbrot de studie van fractal-economie formaliseerde, hij niet de eerste was die het bestaan van fractals in de natuur opmerkte. Kijken we bijvoorbeeld naar het werk van de bekende Japanse schilder Katsushika Hokusai, dan zien we dat concept toegepast (en Mandelbrot noemde het zelf in een interview). In het schilderij "The Great Wave" zien we bijvoorbeeld hoe er in de golf andere kleinere golven zijn.
Kenmerken van een fractal
De belangrijkste kenmerken van een fractal zijn de volgende:
- Zelfgelijkenis: Het verwijst naar wat we al eerder hebben genoemd. Als we een deel van de fractal op grotere schaal (van dichterbij) bekijken, ziet het er hetzelfde uit als het hele object. Dat wil zeggen, het deel is vergelijkbaar met het geheel, hoewel dit niet altijd precies waar is. Laten we ons bijvoorbeeld een ruit voorstellen die uit veel kleine ruiten bestaat. Hoewel de grootte van deze ruiten een beetje varieert, zou het een fractal zijn.
- Fractale dimensie is niet gelijk aan de topologische dimensie: Om de topologische dimensie uit te leggen, stellen we ons voor dat we een vlak hebben dat is verdeeld in rasters, zoals een maas. Dus ik teken een lijn die door 2 rasters gaat. Als ik alle maasroosters in tweeën zou verdelen, zou de lijn door 4 roosters gaan. Dat wil zeggen, het wordt vermenigvuldigd met 2, wat gelijk is aan de reductiefactor (2) verhoogd tot 1 (2 = 21), wat, de redundantie waard, het aantal dimensies van de lijn is. Als we nu een veelhoek hebben, een tweedimensionale figuur, gebeurt er iets soortgelijks. Als we bijvoorbeeld een vierkant hebben dat vier rasters omspant en we passen opnieuw een reductiefactor van 2 toe, dan zal het vierkant 16 rasters overspannen. Dat wil zeggen, het aantal roosters (4) wordt vermenigvuldigd met 4, dat is 2 verhoogd tot 2 (2 = 22), waarbij de exponent het aantal dimensies in het kwadraat is. Al het bovenstaande is echter niet waar in fractals.
- Ze zijn op geen enkel punt te onderscheiden: Dit betekent, in wiskundige termen, dat de afgeleide van de weergegeven functie niet kan worden berekend. In visuele termen betekent dit dat de grafiek niet continu is, maar pieken heeft, dus het is niet mogelijk om de afleiding te maken.
Toepassing van fractale geometrie
Fractale geometrie kan op verschillende gebieden worden toegepast. Lewis Fry Richardson had bijvoorbeeld in 1940 opgemerkt dat verschillende grenzen tussen land en land veranderden, afhankelijk van de meetschaal. Dat wil zeggen, als we een geografische contour meten, zal het resultaat verschillen afhankelijk van de lengte van de liniaal die wordt gebruikt. Dit diende als referentie voor Mandelbrot in zijn artikel uit 1967, gepubliceerd in het tijdschrift Science: "Hoe lang is de kust van Groot-Brittannië?"
Het kan worden verklaard, als we er rekening mee houden dat de geografische gebieden fractals zijn en, zoals we ze op grotere schaal zien, we meer onregelmatigheden zien.
Een andere toepassing van fractale geometrie is de analyse van seismische bewegingen en bewegingen op de aandelenmarkt.
Bovendien moeten we erkennen dat fractals als inspiratie hebben gediend voor kunstenaars als de eerder genoemde Hokusa, en we hebben ook het geval van Jackson Pollock.