Het gelijkbenige trapezium is een trapezium waarvan de twee niet-parallelle zijden, de zijden die de twee basissen van de figuur verbinden, dezelfde lengte hebben.
Er moet aan worden herinnerd dat een trapezium een vierhoek is (vierzijdige veelhoek) die wordt gekenmerkt door twee zijden die basen worden genoemd. Deze zijn evenwijdig (ze kruisen elkaar niet, ook niet als ze verlengd zijn) en van verschillende lengte. Ook zijn de andere twee zijden niet evenwijdig.
Het gelijkbenige trapezium is een van de drie soorten trapezium, samen met het rechter trapezium en het scalene trapezium.
Kenmerken van het gelijkbenige trapezium
Onder de kenmerken van het gelijkbenige trapezium vallen de volgende op:
- In de onderstaande afbeelding, als het trapezium gelijkbenig is, zijn de zijden AB en CD even lang.
- De twee binnenhoeken, die zich op dezelfde basis bevinden, meten hetzelfde. Als we ons laten leiden door de onderstaande afbeelding, zou het volgende waar zijn: α = β en δ = γ.
- De diagonalen in de figuur, AC en DB, zijn even lang.
- De binnenhoeken, die tegenovergesteld zijn, zijn aanvullend. Dat wil zeggen, ze vormen een rechte hoek. In de onderste afbeelding zou het volgende worden waargenomen: α + γ = α + δ = β + δ = β + γ = 180º.
- Twee van de binnenhoeken zijn scherp (minder dan 90º), terwijl de andere twee stomp zijn (groter dan 90º). In de onderstaande figuur zijn α en β dus stomp, terwijl δ en γ acuut zijn.
- De vier binnenhoeken vormen samen 360º.
- Het gelijkbenige trapezium is het enige type trapezium dat op een omtrek kan worden ingeschreven. Dat wil zeggen, de vier hoekpunten kunnen door de omtrek van een cirkel gaan (zie onderstaande tekening).
- Het heeft een symmetrie-as, wat de EF-lijn in de onderstaande afbeelding zou zijn. Deze staat loodrecht op de basis (vormt een rechte of 90º hoek) en snijdt ze in hun middelpunt. Bij het tekenen van genoemde as wordt de veelhoek dus verdeeld in twee symmetrische delen. Dat wil zeggen, elk punt aan de ene kant komt overeen met een punt aan de andere kant, beide op gelijke afstand van de symmetrieas. De afstand tussen punt B en punt F is bijvoorbeeld dezelfde afstand die bestaat tussen punt F en punt C.
Omtrek en oppervlakte van de gelijkbenige trapezium
Om de kenmerken van een gelijkbenig trapezium beter te begrijpen, kunnen we de volgende metingen berekenen:
- Omtrek: We tellen de lengte van elke zijde van de figuur op: P = AB + BC + CD + AD.
- Oppervlakte: Zoals bij elk trapezium, worden om het gebied te vinden de bases opgeteld, gedeeld door twee en vermenigvuldigd met de hoogte. Zoals aangegeven in de onderstaande formule:
Om nu de hoogte te berekenen, kunnen we twee hoogten tekenen vanaf de hoekpunten A en D, zoals we kunnen zien in de onderstaande afbeelding:
We hebben dan de driehoek ADFG; waar AD gelijk is aan FG, en de driehoeken gevormd aan de zijkanten congruent zijn. Daarom is BF hetzelfde als GC. We gaan ervan uit dat beide meten naar.
Daarom zou het waar zijn dat:
Nu merken we op dat de zijwaarts gevormde driehoeken rechthoekige driehoeken zijn, dus de stelling van Pythagoras kan worden toegepast. Bijvoorbeeld, in driehoek ABF is AB de hypotenusa, terwijl AF (de hoogte die we h zullen noemen) en BF de benen zijn.
We moeten ook in gedachten houden dat AB hetzelfde is als DC. Dus als we het bovenstaande in de formule voor het gebied vervangen, zouden we het gebied hebben als een functie van de zijkanten van het trapezium:
Een andere manier om het gebied van een trapezium te berekenen, is door de diagonalen te vermenigvuldigen, te delen door twee en te vermenigvuldigen met de sinus van de hoek die ze vormen wanneer ze elkaar kruisen, en onthoud dat beide diagonalen gelijk zijn:
Het is vermeldenswaard dat op het snijpunt van de diagonalen de overstaande hoeken gelijk zijn en dat hun aangrenzende hun aanvullende hoek is.
Wetende dat de sinus van een hoek gelijk is aan de sinus van zijn aanvullende hoek, kan elk van de hoeken op het snijpunt van de diagonalen worden gekozen.
Samenvattend geldt in onderstaande afbeelding dat: α = γ, β = δ en α + β = γ + δ = α + δ = β + γ = 180º
Om de diagonaal te vinden, kunnen we de volgende formule gebruiken:
Het gebied zou daarom zijn:
Voorbeeld van gelijkbenige trapezium
Stel dat we een trapezium hebben met bases van 4 en 8 meter, terwijl de niet-parallelle zijden elk 3,6 meter meten, beide gelijk (dus de trapezium is gelijkbenig), hoe lang is de omtrek (P), de oppervlakte ( A) en de diagonaal (D) van de figuur?
