Het Poisson-proces is een tijdreeks die is opgebouwd uit experimenten waarvan de frequentie op bevredigende wijze kan worden benaderd met een Bernoulli-verdeling en afhankelijk is van een constante parameter die intensiteit wordt genoemd.
Met andere woorden, het Poisson-proces is een opeenvolging van experimenten die een Bernoulli-verdeling volgen en afhankelijk zijn van een parameter die de intensiteit van het proces aangeeft.
De tijdreeks is betrokken omdat de Poisson-verdeling bedoeld is om de frequentie van gebeurtenissen gedurende een vast tijdsinterval te modelleren.
Aangezien de basis een Bernoulli-verdeling is, wordt een onderscheid gemaakt tussen: succes Y geen succes. Hier is gedefinieerd succes wanneer de gebeurtenis die we willen beheersen plaatsvindt en geen succes wanneer het niet gebeurt.
Parameter
De Griekse letter "lambda" wordt gebruikt om de intensiteit of aankomstsnelheid van het Poisson-proces te identificeren.
Deze parameter is constant en strikt positief, dat wil zeggen altijd groter dan nul.
Formule
Gegeven een tijdsinterval van lengte, t, en de snelheid van aankomst van de evenementen, lambda, het verwachte aantal gebeurtenissen tijdens dat tijdsinterval is
Veronderstellingen
Om het Poisson-proces mogelijk te maken, moet aan de volgende veronderstellingen worden voldaan:
- De kans op succes over een zeer korte periode is de lambda-parameter vermenigvuldigd met die periode.
- De kans op meer dan één succesgebeurtenis in het ingestelde tijdsinterval is niet significant.
Met andere woorden, de kans dat meer dan één experiment succesvol zal zijn in een vast tijdsinterval is erg klein, en daarom niet belangrijk of niet significant.
- De kans dat een succesgebeurtenis optreedt gedurende een bepaald tijdsinterval is niet afhankelijk van wat er eerder is gebeurd.
Dat wil zeggen, elk succesvol experiment is onafhankelijk van het vorige experiment. Bijvoorbeeld, in het geval van het opgooien van een munt gedurende 1 minuut, hangt de kans dat deze met de kop omhoog komt niet af van wat er bij de vorige keer is gegooid.
App
Het Poisson-proces staat in de statistiek bekend als een stochastisch proces dat in continue tijd zeer onwaarschijnlijke gebeurtenissen probeert vast te leggen.
Op het gebied van verzekeringen kan het Poisson-proces bijvoorbeeld worden gebruikt om de kans op ondergang van een verzekeringsmaatschappij te berekenen.
Voorbeeld van een Poisson-proces
We veronderstellen dat we het totale aantal zeilboten willen berekenen dat in een half uur gaat vissen. We weten dat er gemiddeld elke 5 minuten 4 zeilboten vertrekken.
We kunnen dus het volgende matchen:
Het verwachte aantal zeilboten dat over een half uur gaat vissen is:
In totaal gaan 24 zeilboten een half uur vissen, rekening houdend met de verwachting dat er elke 5 minuten 4 zeilboten uitvaren.
