Eigenvectoren zijn vectoren vermenigvuldigd met een eigenwaarde in de lineaire transformaties van een matrix. De eigenwaarden zijn constanten die de eigenvectoren vermenigvuldigen in de lineaire transformaties van een matrix.
Met andere woorden, de eigenvectoren vertalen de informatie uit de oorspronkelijke matrix naar de vermenigvuldiging van waarden en een constante. De eigenwaarden zijn deze constante die de eigenvectoren vermenigvuldigt en deelneemt aan de lineaire transformatie van de oorspronkelijke matrix.
Hoewel de naam in het Spaans zeer beschrijvend is, worden de eigenvectoren in het Engels genoemd eigenvectoren en de eigenwaarden, eigenwaarden.
Aanbevolen artikelen: matrixtypologieën, inverse matrix, determinant van een matrix.
eigen vectoren
De eigenvectoren zijn verzamelingen elementen die, door een willekeurige constante te vermenigvuldigen, gelijk zijn aan de vermenigvuldiging van de oorspronkelijke matrix en de verzamelingen elementen.
Wiskundig gezien een eigenvectorV= (v1,…, Vnee) van een vierkante matrixVraag is een willekeurige vectorV die voldoet aan de volgende uitdrukking voor elke constanteh:
QV = hV
Eigen waarden
De constante h is de eigenwaarde die hoort bij de eigenvector V.
De eigenwaarden zijn de reële wortels (wortels die reële getallen als oplossing hebben) die we via de karakteristieke vergelijking vinden.
Kenmerken van eigenwaarden
- Elke eigenwaarde heeft oneindige eigenvectoren omdat er oneindige reële getallen zijn die deel kunnen uitmaken van elke eigenvector.
- Het zijn scalairen, het kunnen complexe getallen zijn (niet echt) en ze kunnen identiek zijn (meer dan één gelijke eigenwaarde).
- Er zijn net zoveel eigenwaarden als het aantal rijen (m) of kolommen (nee) heeft de originele matrix.
Vectoren en eigenwaarden
Er is een lineaire afhankelijkheidsrelatie tussen vectoren en eigenwaarden aangezien de eigenwaarden de eigenvectoren vermenigvuldigen.
wiskundig
Als V een eigenvector van de matrix isZ Y h is de eigenwaarde van de matrix Z, danhV is een lineaire combinatie tussen vectoren en eigenwaarden.
Karakteristieke functie:
De karakteristieke functie wordt gebruikt om de eigenwaarden van een matrix te vindenZ plein.
wiskundig
(Z - hl) V = 0
Waar ZYh zijn hierboven gedefinieerd enik is de identiteitsmatrix.
voorwaarden
Om vectoren en eigenwaarden van een matrix te vinden, moet worden voldaan:
- Matrix Z vierkant: het aantal rijen (m) is hetzelfde als het aantal kolommen (nee).
- Matrix Z echt. De meeste matrices die in de financiële wereld worden gebruikt, hebben echte wortels. Welk voordeel heeft het gebruik van echte wortels? Welnu, de eigenwaarden van de matrix zullen nooit complexe getallen zijn, en dat, vrienden, lost veel van ons leven op.
- Matrix (Z- Hoi) niet inverteerbaar: determinant = 0. Deze voorwaarde helpt ons om altijd andere eigenvectoren dan nul te vinden. Als we eigenvectoren gelijk aan 0 zouden vinden, dan zou de vermenigvuldiging tussen waarden en eigenvectoren nul zijn.
praktijkvoorbeeld
We veronderstellen dat we de vectoren en eigenwaarden van a . willen vindenZ 2 × 2 dimensiematrix:
1. We vervangen de matrix Z Yik in de karakteristieke vergelijking:
2. We lossen de factoren op:
3. We vermenigvuldigen de elementen alsof we op zoek zijn naar de determinant van de matrix.
4. De oplossing van deze kwadratische vergelijking is h = 2 en h = 5. Twee eigenwaarden omdat het aantal rijen of kolommen in de matrix Z is 2. We hebben dus de eigenwaarden van de matrix gevonden Z die op hun beurt de determinant 0 maken.
5. Om de eigenvectoren te vinden, moeten we oplossen:
6. Bijvoorbeeld, (v1, v2) = (1,1) voor h = 2 en (v1, v2) = (- 1,2) voor h = 5:
