De Cholesky-decompositie is een speciaal soort LU-matrixdecompositie, van het Engelse Lower-Upper, die bestaat uit het ontbinden van een matrix in het product van twee of meer matrices.
Met andere woorden, de Cholesky-decompositie bestaat uit het gelijkstellen van een matrix met hetzelfde aantal rijen en kolommen (vierkante matrix) met een matrix met nullen boven de hoofddiagonaal vermenigvuldigd met de matrix getransponeerd met nullen onder de hoofddiagonaal.
De LU-decompositie kan, in tegenstelling tot Cholesky, worden toegepast op verschillende soorten vierkante matrices.
Cholesky-ontledingskenmerken
De Cholesky-decompositie bestaat uit:
- Een bovenste driehoekige vierkante matrix: Vierkante matrix met alleen nullen onder de hoofddiagonaal.
- Een lagere driehoekige vierkante matrix: Een matrix met alleen nullen boven de hoofddiagonaal.
Wiskundig, als er een positief bepaalde symmetrische matrix bestaat, EN, dan bestaat er een lagere driehoekige symmetrische matrix, K, van dezelfde afmeting als EN, met als resultaat:
De bovenstaande matrix verschijnt als de Cholesky-matrix van E. Deze matrix fungeert als de vierkantswortel van de matrix E. We weten dat het domein van de vierkantswortel is:
(X ∈ ℜ: x ≥ 0)
Die is gedefinieerd in alle niet-negatieve reële getallen. Op dezelfde manier als de vierkantswortel, zal de Cholesky-matrix alleen bestaan als de matrix semi-positief definitief is. Een matrix is semi-positief gedefinieerd wanneer de major minors een positieve of nul determinant hebben.
De Cholesky-ontleding van EN is een diagonaalmatrix zodat:
We kunnen zien dat de matrices vierkant zijn en de genoemde kenmerken bevatten; driehoek van nullen boven de hoofddiagonaal in de eerste matrix en driehoek van nullen onder de hoofddiagonaal in de getransformeerde matrix.
Cholesky-ontledingstoepassingen
In de financiële wereld wordt het gebruikt om de realisaties van onafhankelijke normale variabelen om te zetten in normale variabelen die gecorreleerd zijn volgens een correlatiematrix EN.
Als N een vector is van onafhankelijke normalen (0,1), dan volgt dat Ñ een vector is van Normalen (0,1) gecorreleerd volgens EN.
Voorbeeld van Cholesky-decompositie
Dit is het eenvoudigste voorbeeld dat we kunnen vinden van Cholesky-decompositie, aangezien de matrices vierkant moeten zijn, in dit geval is de matrix (2 × 2). Twee rijen bij twee kolommen. Bovendien voldoet het aan de kenmerken van nullen boven en onder de hoofddiagonaal. Deze matrix is semi-positief bepaald omdat de major minors een positieve determinant hebben. Wij definiëren:
Oplossen voor: c2 = 4; b · c = -2; naar2+ b2 = 5; we hebben vier mogelijke Cholesky-matrices:
Ten slotte berekenen we om (a, b, c) te vinden. Zodra we ze hebben gevonden, hebben we de Cholesky-matrices. De berekening is als volgt:
