De wet van de grote getallen is een fundamentele stelling van de kanstheorie die aangeeft dat als we hetzelfde experiment vele malen herhalen (neiging tot oneindig), de frequentie van een bepaalde gebeurtenis een constante is.
Dat wil zeggen, de wet van de grote getallen geeft aan dat als dezelfde test herhaaldelijk wordt uitgevoerd (bijvoorbeeld een munt opgooien, een roulettewiel gooien, enz.), de frequentie waarmee een bepaalde gebeurtenis wordt herhaald (dat komt kop of zegel, het getal 3 komt zwart uit, enz.) zal een constante benaderen. Dit is op zijn beurt de kans dat deze gebeurtenis plaatsvindt.
Oorsprong van de wet van de grote getallen
De wet van de grote getallen werd voor het eerst genoemd door de wiskundige Gerolamo Cardamo, zij het zonder rigoureus bewijs. Later slaagde Jacob Bernoulli erin om een volledige demonstratie te geven in zijn werk "Ars Conjectandi" in 1713. In de jaren 1830 beschreef de wiskundige Siméon Denis Poisson in detail de wet van de grote getallen, die de theorie kwam vervolmaken. Andere auteurs zouden ook later bijdragen.
Voorbeeld van de wet van de grote getallen
Veronderstel het volgende experiment: gooi een gewone dobbelsteen. Laten we nu eens kijken naar de gebeurtenis dat we het nummer 1 krijgen. Zoals we weten, is de kans dat het nummer 1 zal verschijnen 1/6 (de dobbelsteen heeft 6 gezichten, een van hen is één).
Wat vertelt de wet van de grote getallen ons? Het vertelt ons dat naarmate we het aantal herhalingen van ons experiment verhogen (we maken meer worpen met de dobbelsteen), de frequentie waarmee de gebeurtenis wordt herhaald (we krijgen 1) dichter bij een constante komt, die een gelijke waarde tot zijn waarschijnlijkheid (1/6 of 16,66%).
Mogelijk is bij de eerste 10 of 20 lanceringen de frequentie waarmee we 1 krijgen niet 16%, maar een ander percentage zoals 5% of 30%. Maar naarmate we meer en meer pitches doen (zeg 10.000), zal de frequentie dat de 1 verschijnt zeer dicht bij 16,66% liggen.
In de volgende afbeelding zien we een voorbeeld van een echt experiment waarbij een dobbelsteen herhaaldelijk wordt gegooid. Hier kunnen we zien hoe de relatieve frequentie van het tekenen van een bepaald nummer verandert.
Zoals aangegeven door de wet van de grote getallen, is de frequentie bij de eerste lanceringen onstabiel, maar naarmate we het aantal lanceringen verhogen, heeft de frequentie de neiging zich te stabiliseren op een bepaald aantal, wat de waarschijnlijkheid is dat de gebeurtenis plaatsvindt (in dit geval getallen van 1 t/m 6 aangezien het het gooien van een dobbelsteen is).
Verkeerde interpretatie van de wet van de grote getallen
Veel mensen interpreteren de wet van de grote aantallen verkeerd omdat ze denken dat de ene gebeurtenis de andere zal overtreffen. Zo zijn ze bijvoorbeeld van mening dat, aangezien de kans dat nummer 1 op een dobbelsteen gooit dicht bij 1/6 moet zijn, wanneer het nummer 1 niet op de eerste 2 of 5 worpen verschijnt, het zeer waarschijnlijk is dat in de De volgende. Dit is niet waar, omdat de wet van de grote getallen alleen geldt voor veel herhalingen, dus we kunnen de hele dag met een dobbelsteen gooien en de 1/6-frequentie niet bereiken.
De worp van een dobbelsteen is een onafhankelijke gebeurtenis en daarom heeft dit resultaat geen invloed op de volgende worp wanneer een bepaald aantal verschijnt. Pas na duizenden herhalingen kunnen we verifiëren dat de wet van de grote getallen bestaat en dat de relatieve frequentie van het krijgen van een getal (in ons voorbeeld 1) 1/6 zal zijn.
De verkeerde interpretatie van de theorie kan ertoe leiden dat mensen (vooral gokkers) geld en tijd verliezen.
Stelling van BayesFrequentie waarschijnlijkheidCentrale limietstelling
