De grootste gemene deler (GCF) en het kleinste gemene veelvoud (LCM) zijn twee waarden die kunnen worden berekend uit de delers van twee of meer getallen.
Hoewel beide worden berekend op basis van dezelfde informatie, worden de GCF en de LCM heel anders geïnterpreteerd.
Om te beginnen is de GCF het grootste getal waarmee twee of meer getallen kunnen worden gedeeld. Dit zonder enig residu achter te laten.
In plaats daarvan is de LCM het kleinste getal dat voldoet aan de voorwaarde dat het een veelvoud is van alle elementen van een reeks getallen.
Opgemerkt moet worden dat een getal een veelvoud van een ander is wanneer het het precies n keer bevat. Dat wil zeggen, een getal b is een veelvoud van naar wanneer b=naar*zo, wezen zo een geheel getal.
Om het verschil beter te begrijpen, kunnen we een voorbeeld gebruiken met de volgende nummers: 450, 765 en 135.
Eerst splitsen we elk cijfer op in delers. Dit zijn die getallen waarin het precies een hoeveelheid n keer in een ander zit.
450= (3^2)*(5^2)*2
765= (3^2)*5*17
135= (3^3)*5
Dus, om de GCF te berekenen, zouden we de gemeenschappelijke delers naar hun laagste macht nemen:
GCF = (3 2) * 5 = 45
Evenzo zouden we voor de lcm alle verdelers nemen, zelfs degenen die zichzelf niet herhalen, en ze tot hun maximale kracht verhogen:
lcm = (3 3) * (5 2) * 2 * 17 = 22.950
Relatie tussen GCF en LCM
Als je twee getallen hebt, is de volgende formule waar:
Dat wil zeggen, voor 4.368 en 308
4.368= (2^4)*13*7*3
308= (2^2)*11*7
Dus de lcm zou zijn: (2 2) * 7 = 28
Daarom kan de GCF worden opgelost in de formule:
GCD = 4.368 * 308/28 = 48.048
Sommige eigenschappen
Enkele eigenschappen om te overwegen zijn ook:
- Als we twee priemgetallen hebben (die alleen door zichzelf kunnen worden gedeeld en één om een geheel getal te krijgen), is de LCM het totaal van hun vermenigvuldiging. Evenzo is de grootste gemene deler 1. Als we bijvoorbeeld 11 en 103 hebben, is de LCM 1133 en is de GCF 1.
- De grootste gemene deler van twee of meer getallen is een deler van het kleinste gemene veelvoud van zulke getallen. De berekening wordt namelijk gemaakt op basis van dezelfde factoren. Als we bijvoorbeeld 132, 336 en 1.314 . hebben
132= (2^2)*3*11
336= (2^4)*3*7
1.314= (3^2)*73*2
Dan,
GCF = 3 * 2 = 6
lcm = (2 4) * (3 2) * 7 * 11 * 73 = 809.424
En we verifiëren dat de LCM een veelvoud is van de GCF: 809.424 / 6 = 134.904