De natuurlijke logaritme, ln (x), is de inverse van de exponentiële functie en gedefinieerd in x alleen voor positieve reële getallen.
Intuïtief, wat de natuurlijke logaritme moet oplossen, is de volgende vergelijking:
enY= x
Waar 'y' het resultaat zou zijn waarnaar we op zoek zijn. Dat wil zeggen, als x 20 is, hoeveel 'y' moet dan waard zijn bij het verhogen naar 'e' om aan de vergelijking te voldoen. Bijvoorbeeld, het resultaat van ln (20)
enY= 20 ⇒ y = 3
Rekening houdend met het feit dat het getal 'e' 2,7182818 waard is… verifiëren we dat als we het naar 3 verhogen, het resultaat inderdaad 20,07 is. Dit is zo, omdat de natuurlijke logaritme van 20 eigenlijk 2,99 is. Maar in dit voorbeeld hebben we 3 gebruikt om het gemakkelijker te maken.
Domein van de natuurlijke logaritme
Wiskundig gezien is het domein van de natuurlijke logaritme:
(x ∈ ℜ: x> 0)
Dat wil zeggen dat x een reëel getal groter dan nul moet zijn. Anders bestaat de functie niet. De manier om het te controleren is eerlijk gezegd eenvoudig. We hoeven het alleen maar te controleren met een getal dat nul of minder is. Bijvoorbeeld:
enY= 0 ⇒ y = Er is geen resultaat
Er is geen 'y'-nummer dat, wanneer het wordt verhoogd naar 'e', nul oplevert. We kunnen heel dicht bij nul komen, maar het resultaat zal nooit nul zijn.
Op een meer precieze manier kunnen we de definitie verder uitbreiden dan positieve reële getallen tot complexe getallen. Voor elke negatieve reële x zouden we definiëren, waar effectief ik komt overeen met de vierkantswortel van (-1). Dit is echter een meer geavanceerde opmerking en het is niet objectief om details over complexe getallen in deze uitleg te geven.
Grafische weergave van de natuurlijke logaritme
De grafische weergave van deze functie is:
Onthoud dat de functie die we vertegenwoordigen is enY= x, zien we dat als de waarde van 'y' verandert, ook die van 'x' verandert. Laten we controleren of de grafiek trouw is aan de vergelijking. We kunnen zien dat wanneer 'y' nul is, 'x' gelijk is aan 1. Toepassing van de vergelijking:
enY= 0 ⇒ e0=1
Inderdaad, in de wiskunde weten we dat elk getal wanneer het wordt verhoogd tot 0 resulteert in 1.
Toepassing in financiën en economie
In de financiële wereld worden alleen positieve reals in aanmerking genomen, omdat deze normaal gesproken worden gebruikt om het rendement op de beursgenoteerde prijzen van financiële activa continu te berekenen. Prijzen zijn meestal positief, dus voldoen ze aan de beperking (x> 0), waarbij x in dit geval de prijs is.
Het meest voorkomende gebruik in de economie is in econometrische analyses, waar eenvoudige en / of meervoudige regressies logaritmen in de vergelijkingen opnemen om stabiliteit in de regressoren te bieden, atypische waarnemingen te verminderen en verschillende weergaven van de schatting vast te stellen, naast andere toepassingen.
Uiteindelijk is de reden waarom natuurlijke logaritmen in de econometrie worden gebruikt, om de uit te voeren bewerkingen te vergemakkelijken. Logaritmen hebben bepaalde eigenschappen waardoor complexe wiskundige bewerkingen relatief snel en gemakkelijk kunnen worden uitgevoerd.