Het buigpunt van een wiskundige functie is dat punt waarop de grafiek die het voorstelt, zijn concaafheid verandert. Dat wil zeggen, het gaat van concaaf naar convex, of omgekeerd.
Het buigpunt is met andere woorden het moment waarop de functie van trend verandert.
Laten we, om een idee te krijgen, beginnen met het in een grafische weergave te bekijken, ongeveer:
Opgemerkt moet worden dat een functie meer dan één buigpunt kan hebben, of helemaal niet. Een lijn heeft bijvoorbeeld geen buigpunt.
Laten we in de volgende grafiek een voorbeeld bekijken van een functie met meer dan één buigpunt:
Ook wordt in wiskundige termen het buigpunt berekend door de tweede afgeleide van de functie gelijk te stellen aan nul. We lossen dus de wortel (of wortels) van die vergelijking op en noemen het Xi.
Dan vervangen we Xi in de derde afgeleide van de functie. Als het resultaat anders is dan nul, hebben we te maken met een buigpunt.
Als het resultaat echter nul is, moeten we de opeenvolgende afgeleiden vervangen, totdat de waarde van deze afgeleide, of het nu de derde, vierde of vijfde is, verschilt van 0. Als de afgeleide oneven is, is het een buigpunt, maar als het zelfs nee is.
Voorbeeld van keerpunt
Laten we vervolgens naar een voorbeeld kijken.
Stel we hebben de volgende functie:
y = 2x4+ 5x3+ 9x + 14
y ’= 8x3+ 15x2+9
y »= 24x2+ 30x = 0
24x = -30
Xi = -1,25
Dan vervangen we Xi in de derde afgeleide:
y »’ = 48x
y »’ = 48x-1,25 = -60
Omdat het resultaat anders is dan nul, bevinden we ons voor een buigpunt dat zou zijn wanneer x gelijk is aan -1,25 en y gelijk is aan -2,1328, zoals weergegeven in de volgende grafiek.
Hierin wordt opgemerkt dat de functie een buigpunt heeft:
Laten we nu naar een ander voorbeeld kijken:
y = x4-54x2
y ’= 4x3-108x
y »= 12x2-108=0
X2=9
Xi = 3 en -3
Vervolgens vervangen we de twee wortels in de derde afgeleide:
y »’ = 24x
y »’ = 24 × 3 = 72
y »’ = 24x-3 = -72
Aangezien het resultaat niet nul is, hebben we twee buigpunten op (3.567) en (-3.567).
Om de informatie aan te vullen, nodigen we u uit om het verbuigingsartikel te bezoeken, waar we dit concept op een meer algemene manier behandelen:
Definitie van verbuiging