Eindige verzamelingen - Wat is het, definitie en concept

Eindige verzamelingen zijn verzamelingen waarvan de kardinaliteit, of het aantal elementen erin, gelijk is aan een natuurlijk getal.

Met andere woorden, een eindige verzameling is een verzameling met een aantal elementen die kunnen worden geteld. Het tegenovergestelde zijn van een oneindige verzameling, waar de elementen ontelbaar zijn.

Een meer formele manier om uit te drukken dat een verzameling eindig is, is dat de elementen van die verzameling, die we M zullen noemen, kunnen worden gekoppeld aan de elementen van de verzameling (1, 2,…, n), die we N zullen noemen. Dit is een reeks gehele getallen waarbij elk element gelijk is aan het vorige, plus de eenheid.

De elementen van M en N kunnen dus één voor één worden gekoppeld (wat bekend staat als één-op-één-correspondentie), zonder enig element van de twee sets weg te laten.

Er wordt ook gezegd dat M en N equipotent zijn, dat wil zeggen, voor elk element van M is er een element van N.

Verder valt het getal n (het grootste element van de verzameling N) samen met het aantal elementen van M, waarbij n de kardinaal, de kardinaliteit of de macht van N is, en de notatie is kaart (N), | N | of #N.

Eindige verzameling voorbeelden

Enkele voorbeelden van eindige verzamelingen zijn de volgende:

• Oneven gehele getallen groter dan 13 en kleiner dan 29: (15, 17, 19, 21, 23, 25, 27)
• De oceanen van de aarde: Atlantische, Stille, Indische, Arctische, Antarctische
• De lijst van de twintig leerlingen die bij een klas horen.

Eigenschappen van eindige verzamelingen

Een van de belangrijkste eigenschappen van eindige verzamelingen zijn de hieronder weergegeven:

• De vereniging van twee of meer eindige verzamelingen resulteert in een eindige verzameling.
• Het snijpunt (de gemeenschappelijke elementen) van een eindige verzameling met een of meer verzamelingen is eindig.
• De deelverzameling van een eindige verzameling is ook eindig.
• De deelverzameling C van een eindige verzameling M wordt gekenmerkt door een kleiner aantal elementen dan M. Dat wil zeggen, het is waar dat: Als C ⊊ M en | M | = n, dan | C | <n (Het symbool ⊊ betekent dat C een echte deelverzameling van M is. Dat wil zeggen, alle elementen van C zitten in M, maar er is minstens één element van M dat niet in C zit).
• De machtsverzameling van een eindige verzameling M, die alle deelverzamelingen omvat die kunnen worden gevormd met de elementen van de verzameling M (inclusief de lege verzameling of ∅), is eindig en heeft 2^nee elementen, waarbij n het aantal elementen in M ​​is. Als we bijvoorbeeld hebben:

(1, 3, 41)

De vermogensset zou zijn: (∅, (1,3), (1,41), (3,41), (1), (3), (41), (1,3,41))

Zoals we kunnen zien, heeft de machtsverzameling van een eindige verzameling van drie elementen acht (2³) elementen.