De Poisson-verdeling is een discrete kansverdeling die de frequentie van bepaalde gebeurtenissen gedurende een vast tijdsinterval modelleert op basis van de gemiddelde frequentie van optreden van deze gebeurtenissen.
Met andere woorden, de Poisson-verdeling is een discrete kansverdeling die we, alleen door de gebeurtenissen en hun gemiddelde frequentie van voorkomen te kennen, hun waarschijnlijkheid kunnen kennen.
Poisson distributie-expressie
Gegeven een discrete willekeurige variabele X zeggen we dat de frequentie ervan op bevredigende wijze kan worden benaderd met een Poisson-verdeling, zodat:
In tegenstelling tot de normale verdeling, is de Poisson-verdeling slechts afhankelijk van één parameter, mu (geel gemarkeerd).
Mu rapporteert het verwachte aantal gebeurtenissen dat binnen een bepaald tijdsinterval zal plaatsvinden. Als we het hebben over iets 'verwacht', moeten we het omleiden om na te denken over het gemiddelde. Daarom is mu het gemiddelde van de frequentie van de gebeurtenissen.
Zowel het gemiddelde als de variantie van deze verdeling zijn zeer strikt positief.
Vertegenwoordiging
Gegeven een Poisson-verdeling met gemiddelde 2, is de dichtheidskansverdeling als volgt:
De functie is alleen gedefinieerd op gehele waarden van x.
Niet alle kansverdelingen van Poissondichtheid zullen er hetzelfde uitzien, zelfs als we de steekproef hetzelfde houden. Als we het gemiddelde veranderen, dat wil zeggen de parameter waarvan de functie afhankelijk is, verandert de functie ook.
Kansdichtheidsfunctie (pdf)
Deze functie wordt opgevat als de kans dat de willekeurige variabele X een bepaalde waarde x aanneemt. Het is de exponentiële waarde van het negatieve gemiddelde vermenigvuldigd met het gemiddelde van de waarneming en alles gedeeld door de faculteit van de waarneming.
Zoals aangegeven, zullen we, om de waarschijnlijkheid van elke waarneming te kennen, alle waarnemingen in de functie moeten vervangen. Met andere woorden, x is een vector met dimensie n die alle waarnemingen van de willekeurige variabele X bevat. Het gemiddelde zou ook een vector zijn, maar dan met één dimensie, zodat:
Zodra we de berekende kansen hebben, kunnen we samen met de waarnemingen de kansdichtheidsverdeling tekenen.
Verhaal
De naam van deze verdeling komt van de maker, Siméon-Denis Poisson (1781-1840), een Franse wiskundige en filosoof, die de frequentie van gebeurtenissen gedurende een vast tijdsinterval wilde modelleren. Hij nam ook deel aan het perfectioneren van de wet van de grote getallen.
App
De Poisson-verdeling wordt gebruikt op het gebied van operationeel risico om situaties te modelleren waarin een operationeel verlies optreedt. Bij marktrisico wordt het Poisson-proces gebruikt voor wachttijden tussen financiële transacties in hoogfrequente databases. Ook wordt rekening gehouden met het kredietrisico om het aantal faillissementen te modelleren.
Voorbeeld
We gaan ervan uit dat we in het winterseizoen zijn en voor december willen gaan skiën. De kans dat de skigebieden voor december open gaan is 5%. Van de 100 skigebieden willen we weten hoe groot de kans is dat het dichtstbijzijnde skigebied voor december open gaat. De waardering van dit skigebied is 6 punten.
De inputs die nodig zijn om de Poisson-dichtheidswaarschijnlijkheidsfunctie te berekenen, zijn de dataset en mu:
- Gegevensset = 100 skigebieden.
- Mu = 5% * 100 = 5 is het verwachte aantal skigebieden op basis van de dataset.
Dus het dichtstbijzijnde station heeft een kans van 14,62% dat het voor december open gaat.
Frequentie waarschijnlijkheid