Het snijpunt van gebeurtenissen is een bewerking waarvan het resultaat is samengesteld uit de niet-herhalende en gemeenschappelijke gebeurtenissen van twee of meer sets.
In eenvoudiger woorden, gegeven twee gebeurtenissen A en B, zullen we zeggen dat hun snijpunt bestaat uit de elementaire gebeurtenissen die ze gemeen hebben. We zouden ook kunnen aangeven dat het snijpunt van gebeurtenissen inhoudt dat de vraag moet worden beantwoord: wat is de kans dat A en B tegelijkertijd plaatsvinden?
Het symbool waarmee het snijpunt wordt aangeduid is het volgende: ∩. Het is als een omgekeerde U. Dus, als we het snijpunt van A en B willen aanduiden, zouden we zeggen: A ∩ B
Generalisatie van het snijpunt van gebeurtenissen
In de uitleg hebben we tot nu toe het snijpunt van twee gebeurtenissen gezien. Bijvoorbeeld A ∩ B of B ∩ A. Wat gebeurt er als we meer dan twee gebeurtenissen hebben?
Door het snijpunt van gebeurtenissen te veralgemenen, krijgen we een oplossing om het snijpunt van bijvoorbeeld 50 gebeurtenissen aan te duiden. Stel dat we 7 gebeurtenissen hebben, dan gebruiken we de volgende notatie:
In plaats van elke gebeurtenis A, B of welke letter dan ook te noemen, gaan we Ja noemen. S is de gebeurtenis en het subscript i geeft het nummer aan. Op deze manier hebben we, in het voorbeeld van 7 gebeurtenissen, de volgende formule:
Wat we hebben gedaan, is de notatie ontwikkelen. Het is gewoon om te zien wat het betekent, maar alleen door het gelijke te stellen, weet je wat die ontwikkeling inhoudt. In het bovenstaande zouden we intuïtief zeggen 'S1 exit en S2 exit en S3 exit en S4 exit en S5 exit en S6 exit en S7 exit'. Dat wil zeggen, ze zouden de gemeenschappelijke elementen zijn die de 7 gebeurtenissen hebben.
Snijpunt van disjuncte en niet-disjuncte gebeurtenissen
De kruising van onsamenhangende gebeurtenissen kan eenvoudigweg niet bestaan. Het is duidelijk dat als twee gebeurtenissen onsamenhangend zijn, we zullen zeggen dat ze geen elementen gemeen hebben. En als ze geen elementen gemeen hebben, is het resultaat de lege verzameling of onmogelijke gebeurtenis.
In het geval van niet-disjuncte gebeurtenissen, zal het resultaat van de kruising de gemeenschappelijke elementen zijn. Laten we een voorbeeld bekijken van waarom de kruising van onsamenhangende gebeurtenissen niet kan bestaan:
Stel dat we een steekproefruimte hebben die bestaat uit (1,2,3,4,5,6) waarbij:
A: Laat 1 of 2 opkomen (1,2)
B: Dat komt uit groter dan of gelijk aan 5 (5,6)
A ∩ B = Ø
Er is geen kruising. Het is een onmogelijke gebeurtenis. Dit gebeurt omdat de gebeurtenissen onsamenhangend zijn. Dat wil zeggen, ze hebben geen gemeenschappelijke elementen.
Van zijn kant wordt het snijpunt van niet-disjuncte gebeurtenissen berekend als:
Eigenschappen van het snijpunt van gebeurtenissen
De vereniging van gebeurtenissen is een soort wiskundige bewerking. Sommige soorten bewerkingen zijn ook optellen, aftrekken, vermenigvuldigen. Elk van hen heeft een reeks eigenschappen. We weten bijvoorbeeld dat het resultaat van het optellen van 3 + 4 precies hetzelfde is als dat van het optellen van 4 +3. Op dit moment heeft de evenementenvereniging verschillende eigenschappen die het waard zijn om te weten:
- commutatief: Het betekent dat de volgorde waarin het is geschreven het resultaat niet verandert. Bijvoorbeeld:
- A B = B ∩ A
- C ∩ D = D ∩ C
- associatief: Ervan uitgaande dat er drie evenementen zijn, maakt het ons niet uit welke we eerst moeten doen en welke als volgende. Bijvoorbeeld:
- (A B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
- (A C) U B = (A ∩ B) ∩ C
- distributief: Wanneer we het type bewerking van het snijpunt opnemen, geldt de distributieve eigenschap. Kijk maar naar het volgende voorbeeld:
- A ∩ (B U C) = (A U B) U (A U C)
Als we naar deze eigenschappen kijken, kunnen we gemakkelijk zien hoe ze precies hetzelfde zijn als in het geval van een vakbond.
Voorbeeld kruispunt evenement
Een eenvoudig voorbeeld van de vereniging van twee gebeurtenissen A en B zou het volgende zijn. Veronderstel het geval van het opgooien van een perfecte dobbelsteen. Een dobbelsteen met zes vlakken genummerd van 1 tot 6. Op zo'n manier dat de gebeurtenissen hieronder worden gedefinieerd:
NAAR: Dat het groter is dan 2. (3,4,5,6) in waarschijnlijkheid is 4/6 => P (A) = 0,67
C: Laat er vijf uitkomen. (5) in waarschijnlijkheid is 1/6 => P (C) = 0.17
Wat is de kans op A C?
P (A ∩ C) = P (A) + P (C) - P (A U C)
Omdat P (A) en P (C) het al hebben, gaan we P (A U C) berekenen
A U C = (3,4,5,6) in kansen P (A U C) = 4/6 = 0,67
Het eindresultaat is:
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C) = 0,67 + 0,17 - 0,67 = 0,17 (17%)
De kans dat het groter dan 2 uitkomt en tegelijkertijd dat het er vijf uit komt is 17%.