Matrix kwadratische vorm - Wat is het, definitie en concept

De matrix kwadratische vorm is het product van de vermenigvuldiging van een vector van orde n met een vierkante matrix door de vector van orde n getransponeerd.

Met andere woorden, de matrix kwadratische vorm is een lineaire combinatie van een vierkante matrix, een vector van orde n, en de transponering van die vector.

Aanbevolen artikel: bewerkingen met matrices.

Matrix kwadratische vorm formule

Gegeven een vierkante matrix Z van orde n en een vector h met n dimensies, kunnen we de uitdrukking kwadratische vorm van de vorm schrijven:

Het resultaat van de kwadratische vorm is altijd een scalair, dat wil zeggen een enkel getal, geen matrix.

Toepassingen

De matrix kwadratische vorm wordt gebruikt om de mate van positiviteit en negativiteit van de gedefinieerde matrices te vinden. Afhankelijk van de waarden van de vector h, is de waarde van de kwadratische vorm nul (0), positief of negatief.

Als we eenmaal de kwadratische vorm hebben verkregen, kunnen we zeggen dat we de matrix hebben "gedefinieerd". We kunnen dus spreken van een bepaalde matrix. Deze matrix kan positief bepaald, positief halfbepaald, negatief bepaald en negatief halfbepaald zijn.

praktijkvoorbeeld

De kwadratische vorm van de vierkante matrix vinden Z gegeven een vector h:

Werkwijze

Eerst transponeren we de vector h.

Vervolgens passen we de formule van de kwadratische vorm toe.

Zoals we eerder hebben gezegd, zal het resultaat van de kwadratische vorm altijd een enkel getal zijn. In dit geval is het een strikt positief getal.

Maar … Hoe kan het dat het resultaat een concreet getal is en geen matrix als we matrices vermenigvuldigen?

De reductie van de dimensie van de matrix door vermenigvuldiging vindt plaats omdat we matrices vermenigvuldigen die hetzelfde aantal kolommen en rijen delen.

Demonstratie:

Van het matrixproduct Z en van de getransponeerde vector h blijft er een vector met dimensie 3 × 1. Op dezelfde manier blijft het product van de resultaatvector en de vector h een matrix met dimensie 1 × 1. Een matrix met afmeting 1 × 1 is een scalair.

Dus als we de kwadratische vorm van een matrix berekenen en een matrix krijgen met een afmeting groter dan 1 × 1 (we krijgen een ander resultaat dan een specifiek getal), betekent dit dat we in een bepaalde stap een fout hebben gemaakt en dat de resultaat is fout.