Een wiskundig model is een model dat wiskundige formules gebruikt om de relatie tussen verschillende variabelen, parameters en beperkingen weer te geven.
Een wiskundig model is een vereenvoudigde weergave, door middel van wiskundige vergelijkingen, functies of formules, van een fenomeen of van de relatie tussen twee of meer variabelen. De tak van de wiskunde die verantwoordelijk is voor het bestuderen van de kwaliteiten en structuur van modellen is de zogenaamde 'modeltheorie'.
Waar dient een wiskundig model voor?
Wiskundige modellen worden gebruikt om de relatie tussen twee of meer variabelen te analyseren. Ze kunnen worden gebruikt om natuurlijke, sociale, fysieke verschijnselen, enz. Afhankelijk van het nagestreefde doel en het ontwerp van hetzelfde model, kunnen ze worden gebruikt om onder andere de waarde van de variabelen in de toekomst te voorspellen, hypothesen te maken, de effecten van een bepaald beleid of bepaalde activiteit te evalueren.
Hoewel het een theoretisch concept lijkt, zijn er in werkelijkheid veel aspecten van het dagelijks leven die worden beheerst door wiskundige modellen. Wat er gebeurt, is dat het geen wiskundige modellen zijn die gericht zijn op theorievorming. Het zijn eerder wiskundige modellen die zijn geformuleerd om iets te laten werken. Bijvoorbeeld een auto.
Basiselementen van een wiskundig model
Wiskundige modellen kunnen variëren in complexiteit, maar ze hebben allemaal een aantal basiskenmerken:
- Variabelen: Het zijn de concepten of objecten die men probeert te begrijpen of te analyseren. Vooral met betrekking tot de relatie met andere variabelen. Zo kan een variabele bijvoorbeeld het salaris van de werknemers zijn en wat we willen analyseren zijn hun belangrijkste determinanten (bijvoorbeeld: studiejaren, opleiding ouders, geboorteplaats, enz.).
- Parameters: Dit zijn bekende of controleerbare waarden van het model.
- Beperkingen: Het zijn bepaalde limieten die aangeven dat de resultaten van de analyse redelijk zijn. Als een van de variabelen bijvoorbeeld het aantal kinderen van een gezin is, is een natuurlijke beperking dat deze waarde niet negatief kan zijn.
- Relaties tussen variabelen: Het model legt een bepaalde relatie tussen de variabelen op basis van economische, fysische, chemische theorieën, enz.
- Vereenvoudigde weergaven: Een van de essentiële kenmerken van een wiskundig model is de weergave van de relaties tussen de variabelen die worden bestudeerd door elementen van de wiskunde zoals: functies, vergelijkingen, formules, enz.
Gewenste eigenschappen van een wiskundig model
Wanneer een wiskundig model wordt ontworpen, is het de bedoeling dat het een reeks eigenschappen heeft die de robuustheid en effectiviteit ervan helpen verzekeren. Onder deze eigenschappen zijn:
- Eenvoud: Een van de belangrijkste doelstellingen van een wiskundig model is om de werkelijkheid te vereenvoudigen om deze beter te begrijpen.
- Objectiviteit: Dat het geen vooroordelen heeft, noch theoretisch, noch de vooroordelen of ideeën van zijn ontwerpers.
- Gevoeligheid: Dat het in staat is om de effecten van kleine variaties weer te geven.
- Stabiliteit: Dat het wiskundige model niet significant wordt gewijzigd bij kleine veranderingen in de variabelen.
- Universaliteit: Dat het van toepassing is op verschillende contexten en niet alleen op een bepaald geval.
Uiteraard zijn er nog veel meer, maar de bovenstaande zijn het meest intuïtief.
Processen om een wiskundig model te maken
In algemene termen is het proces van het ontwikkelen van een wiskundig model als volgt:
- Zoek een fenomeen of probleem.
- Formuleer een model met wiskundige elementen die het gekozen probleem vertegenwoordigen en de relevante variabelen (afhankelijk en onafhankelijk) identificeren.
- Stel hypothesen en een testmethode vast voor de juistheid ervan.
- Pas wiskundige kennis toe om het model op te lossen en indien nodig voorspellingen te doen.
- Maak vergelijkingen van de verkregen gegevens met echte gegevens.
- Als de resultaten niet aan de verwachtingen voldoen, pas dan het rekenmodel aan.
Soorten wiskundige modellen
Er zijn verschillende soorten wiskundige modellen. Hier zijn enkele van de meest relevante typen modellen:
Volgens de gebruikte informatie
- Heuristiek: Op basis van mogelijke verklaringen over de oorzaken van de waargenomen verschijnselen.
- Empirisch: Gebruikt informatie uit daadwerkelijke experimenten.
Volgens type vertegenwoordiging
- Kwalitatief of conceptueel: Ze verwijzen naar een analyse van de kwaliteit of trend van een fenomeen zonder een exacte waarde te berekenen.
- Kwantitatief of numeriek: De verkregen resultaten hebben een specifieke waarde die een bepaalde betekenis heeft (deze kan exact of relatief zijn).
Volgens de willekeur
- deterministisch: Het kent geen onzekerheid, de waarden zijn bekend.
- stochastisch: De waarde van de variabelen is niet altijd exact bekend. Er is onzekerheid en dus een kansverdeling van de resultaten.
Volgens uw toepassing of doelstelling
- Simulatie of beschrijvend: Simuleert of beschrijft een fenomeen. De resultaten zijn erop gericht te voorspellen wat er in een bepaalde situatie zal gebeuren.
- Optimalisatie: Ze worden gebruikt om een optimale oplossing voor een probleem te vinden.
- van controle: Het onder controle houden van een organisatie of systeem en het bepalen van de variabelen die moeten worden aangepast om de gewenste resultaten te verkrijgen.
