De Sint-Petersburg-paradox is een paradox die is waargenomen door Nicolaus Bernoulli en die zijn reden heeft om te gokken. Deze paradox vertelt ons dat in de beslissingstheorie alle weddenschappen worden toegelaten, ongeacht hun waarde, zelfs als die waarde ons laat zien dat het geen rationele beslissing is.
De paradox van Sint-Petersburg, voor ons om het goed te begrijpen, was een paradox beschreven door Nicolaus Bernoulli, na het observeren van gokken, en daarom bestaat deze paradox.
SpeltheorieIn die zin vertelt de paradox ons dat de theorie van de geformuleerde beslissingen ons laat zien dat de rationele beslissing, in een gokspel, alles is, ongeacht het bedrag dat elke weddenschap veronderstelt. Als we deze situatie echter correct analyseren en nauwkeurig naar de theorie kijken, zien we dat geen enkel rationeel wezen ervoor zou kiezen om de beslissing te nemen om een geldbedrag in de buurt van oneindig in te zetten, hoewel de theorie aangeeft dat het rationeel is. Om deze reden ontstaat de paradox.
Aanvankelijk wordt de paradox waargenomen door Nicolaus Bernoulli, zoals blijkt uit een brief die hij op 9 september 1713 aan Pierre de Montmort, een Franse aristocraat en wiskundige, stuurde.
Omdat het onderzoek van Nicolaus echter geen resultaten opleverde, presenteerde hij de paradox in 1715 aan zijn neef Daniel Bernoulli, een wiskundige van Nederlandse afkomst en rector van de Universiteit van Basel, die in Sint-Petersburg een ontmoeting had met een vooraanstaande groep wetenschappers, en na jaar van onderzoek, publiceerde in 1738 een nieuw meetsysteem in zijn werk "Exposition of a new theory in risk measurement".
Het door Daniël voorgestelde model, in tegenstelling tot het door Nicolaus voorgestelde model, legt de basis voor wat later de theorie van het verwachte nut zou verfijnen en voltooien.
St. Petersburg paradox formule
De formulering voorgesteld door Nicolaus Bernoulli aan zijn neef en Pierre de Montmort is als volgt:
Laten we ons een gokspel voorstellen, waarbij de speler uiteraard een bedrag moet betalen om deel te nemen.
Stel dat de speler inzet op munt, en de munt achtereenvolgens opgooit tot hij munt is. Na staarten wordt het spel gestopt en krijgt de speler $ 2 n.
Dus, als de staart wint, wint de speler eerst 2 1, wat $ 2 is. Maar als het weer terugloopt, krijgt het 2 2, wat $ 4 is, enzovoort. Als het weer uitkomt, is het 8 dollar, wat het equivalent is van 2 3; terwijl, als het een vierde keer uitkomt, de prijs 16 dollar zal zijn, zijnde de vertegenwoordiging 2 4.
De vraag van Nicolaus was dus de volgende: Hoeveel zou de speler, rekening houdend met de hierboven genoemde volgorde en de winst, voor dit spel willen betalen zonder de rationaliteit te verliezen?
Voorbeeld van de Sint-Petersburg-paradox
Laten we, gezien de formulering die Nicolaus voorstelde, en de twijfel die hij stelde aan de Franse wiskundige en zijn neef, de reden voor deze paradox zien, bij wijze van voorbeeld, om te begrijpen wat we bedoelen.
Allereerst moeten we weten dat we, voordat het spel begint, een oneindig aantal mogelijke uitkomsten hebben. Welnu, zelfs als de kans 1/2 is, komen de staarten mogelijk pas uit bij de 8e worp.
Daarom is de kans dat dit kruis op worp k verschijnt:
PK = 1 / 2k
De winst is ook 2k.
Als we doorgaan met de ontwikkeling, leveren de eerste staarten op de 1e worp een winst op van 21 ($ 2) en een kans van 1/2. Tails bij de 2e poging hebben een winst van 22 (4 dollar) en een kans van 1/22; terwijl, als de derde poging mislukt, de speler een winst van 2 . heeft3 ($ 8) en een kans van 1/23. Zoals we kunnen zien, een relatie die zich uitbreidt, zolang we runs toevoegen.
Voordat we verder gaan, moet worden opgemerkt dat we in de beslissingstheorie wiskundige verwachting (EM), of verwachte winst van een spel, de som van de prijzen noemen, geassocieerd met elk van de mogelijke resultaten van het spel, en ze allemaal gewogen door de kans dat elk van deze uitkomsten zal optreden.
Als we rekening houden met de benadering die deze paradox laat zien, zien we dat bij het spelen de kans om 2 dollar te winnen 1/2 is, maar bovendien is de kans om 4 te winnen 1/4, terwijl die van 8 dollar is 1/8. Dit, totdat situaties worden bereikt zoals het winnen van 64 dollar, waarbij de kans voor dit geval 1/64 is.
Dus, met deze resultaten, als we de wiskundige verwachting berekenen, of wat we kennen als de verwachte winst van het spel, moeten we de winsten van alle mogelijke uitkomsten optellen, gewogen naar de waarschijnlijkheid van hun optreden, zodat het resultaat ons een oneindige waarde.
Als we de theorie van keuze volgen, vertelt het ons dat we elk bedrag moeten inzetten voor het simpele feit dat elke beslissing gunstig voor ons is. Het feit dat het een paradox is, is omdat, rationeel gezien, een speler niet voor onbepaalde tijd zal inzetten, zelfs als de theorie hem daartoe dwingt.
Een prominente paradox
Velen zijn de wiskundigen geweest die hebben geprobeerd de door Bernoulli voorgestelde paradox te ontcijferen, maar er zijn er ook velen die het niet hebben kunnen oplossen.
Er zijn dus talloze voorbeelden die ons laten zien hoe de paradox heeft geprobeerd op te lossen door wiskundigen die zowel de structuur van het spel als de beslissingen van individuen zelf hebben aangepakt. Tot op heden hebben we echter nog steeds geen geldige oplossing kunnen vinden.
En het is dat, om een idee te krijgen van de complexiteit van deze paradox, rekening houdend met de theorie van keuze in dit voorbeeld, we als mogelijke prijs, na de berekening, een oneindig aantal munten aannemen dat, zelfs aangenomen dat het mogelijk zou zijn, zou het onverenigbaar zijn met het monetaire systeem zelf, aangezien het een geld is dat, in tegenstelling tot wat de paradox zegt, beperkt is.
