Stel algebra - Wat het is, definitie en concept

Setalgebra is een studiegebied, binnen wiskunde en logica, gericht op de bewerkingen die tussen sets kunnen worden uitgevoerd.

Verzamelalgebra maakt deel uit van wat we kennen als verzamelingenleer.

Er moet aan worden herinnerd dat een set de groepering is van verschillende soorten elementen, zoals letters, cijfers, symbolen, functies, geometrische figuren, onder andere.

Bewerkingen instellen

De belangrijkste bewerkingen met sets zijn de volgende:

Unie: De vereniging van twee of meer verzamelingen bevat alle elementen die bij ten minste één van deze verzamelingen horen. Dit wordt aangegeven met de letter U.

A = (9,34,57,6,9)

B = (10,41,57,9,16)

AUB = (9,34,57,6,9,10,41,16)

Kruispunt: Het snijpunt van twee of meer sets omvat de elementen die deze sets delen. Het wordt aangegeven door de omgekeerde U (∩). Voorbeeld:

A = (a, r, t, ik, c, o)

B = (i, n, d, ik, c, o)

A∩B = (i, c, o)

Verschil: Het verschil van de ene verzameling ten opzichte van de andere is gelijk aan de elementen van de eerste verzameling minus de elementen van de tweede. Het wordt aangegeven met het symbool of -. Anders bekeken, x ∈ a A B als x ∈ A, maar x ∉ B. Voorbeeld:

A = (21,34,56,17,7)

B = (78,21,17,36,80)

A-B = (34,56,7)

Aanvulling: Het complement van een verzameling omvat alle elementen die niet in die verzameling voorkomen (maar wel tot een andere universele referentieverzameling behoren). Het wordt aangegeven door het superscript C. Voorbeeld:

EEN = (3,9,12,15,18)

U (Universum) = Alle veelvouden van 3 die hele natuurlijke getallen zijn kleiner dan 30.

NAAR^C=(6,21,24,27)

Symmetrisch verschil: Het symmetrische verschil van twee sets omvat alle elementen die zich in de een of de ander bevinden, maar niet beide tegelijk. Dat wil zeggen, het is de vereniging van de verzamelingen minus hun snijpunt. Het symbool is Δ. Voorbeeld:

EEN = (17.81.99.131.65.32)

B = (11.54.71.65.99.27)

AΔB = (17,81,131,32,11,54,71,27)

Cartesiaans product: Het is een bewerking die resulteert in een nieuwe verzameling, die als elementen de geordende paren of de tupels (geordende reeksen) van de elementen die bij twee of meer verzamelingen horen, bevat. Het zijn geordende paren als het twee sets zijn en tupels als we meer dan twee sets hebben. Voorbeeld:

A = (8,15,6,51)

B = (x, y)

AxB = ((8, x), (8, y), (15, x), (15, y), (6, x), (6, y), (51, x), (51, y) )

BxA = ((x, 8), (x, 15), (x, 6), (x, 51), (y, 8), (y, 15), (y, 6), (y, 51) )

Wetten van verzameling algebra

De wetten van de verzameling algebra zijn als volgt:

Idempotentie: De vereniging of kruising van een verzameling met zichzelf resulteert in dezelfde verzameling:

XUX = X

X∩X = X

commutatief: De volgorde van de factoren verandert het resultaat niet bij het vinden van de unie of het snijpunt van verzamelingen:

XUY = XUY

X∩Y = X∩Y

distributief: De vereniging van een verzameling X, met het snijpunt van twee andere verzamelingen Y en Z, is gelijk aan het snijpunt van de vereniging van X en Y, met de vereniging van X en Z. Dat is:

XU (Y∩Z) = (XUY) ∩ (XUZ)

Verder geldt hetzelfde als we de volgorde van bewerkingen omkeren:

X∩ (YUZ) = (X∩Y) U (X∩Z)

associatief: De termen van een vereniging of snijpunt operatie van meerdere sets kunnen onduidelijk worden gegroepeerd, waarbij altijd hetzelfde resultaat wordt verkregen:

XU (XUY) = (XUY) UZ

X∩ (X∩Y) = (X∩Y) ∩Z

Wet van Morgan: Het complement van de vereniging van twee verzamelingen is gelijk aan de kruising van hun complementen, en het complement van de kruising van twee verzamelingen is gelijk aan de vereniging van hun complementen.

(XUY)^C= X^CY^C

(X∩Y)^C= X^CUy^C

Verschil wet: Het verschil van de ene verzameling ten opzichte van de andere is gelijk aan het snijpunt van de eerste met het complement van de tweede:

(X-Y) = X∩Y^C

Aanvullende wetten:
- De vereniging van een verzameling met zijn complement is niet gelijk aan de universele verzameling. XUX^C= U
- Het snijpunt van een verzameling met zijn complement is gelijk aan de nul- of lege verzameling. X∩X^C=∅
- Het complement van het complement van een verzameling X is gelijk aan de verzameling X. (X^C)^C= X
- Het complement van de universele verzameling is gelijk aan de nul- of lege verzameling. X^C=∅
- Het complement van de lege verzameling is gelijk aan de universele verzameling. ∅^C= U