De ongelijkheid van Chebyshev is een stelling die in de statistiek wordt gebruikt en die een conservatieve schatting (betrouwbaarheidsinterval) geeft van de kans dat een willekeurige variabele met eindige variantie zich op een bepaalde afstand van de wiskundige verwachting of het gemiddelde bevindt.
De formele uitdrukking is als volgt:
X = Geschatte waarde
µ = Wiskundige verwachting van de geschatte waarde
Ϭ = Standaarddeviatie van de verwachte waarde
k = aantal standaarddeviaties
Uitgaande van deze algemene uitdrukking en het ontwikkelen van het deel dat binnen de absolute waarde blijft, zouden we het volgende hebben:
Als we aandacht besteden aan de vorige uitdrukking, is te zien dat het gedeelte aan de linkerkant niet meer is dan a Betrouwbaarheidsinterval. Dit biedt ons zowel een onder- als een bovengrens voor de geschatte waarde. Daarom vertelt de ongelijkheid van Chebyshev ons de minimale kans dat de populatieparameter binnen een bepaald aantal standaarddeviaties boven of onder het gemiddelde ligt. Of anders gezegd, het geeft ons de kans dat de populatieparameter binnen dat betrouwbaarheidsinterval ligt.
De ongelijkheid van Chebyshev biedt geschatte grenzen voor de geschatte waarde. Ondanks dat het een zekere mate van onnauwkeurigheid heeft, is het een zeer nuttige stelling omdat het kan worden toegepast op een breed scala aan willekeurige variabelen, ongeacht hun distributies. De enige beperking om deze ongelijkheid te kunnen gebruiken is dat k groter moet zijn dan 1 (k> 1).
Wiskundige ongelijkheidVoorbeeld van toepassing van de ongelijkheid van Chebyshev
Stel we zijn beheerders van een beleggingsfonds. De portefeuille die we beheren heeft een gemiddeld rendement van 8,14% en een standaarddeviatie van 5,12%. Om bijvoorbeeld te weten welk percentage van ons rendement ten minste 3 standaarddeviaties is van onze gemiddelde winstgevendheid, passen we eenvoudig de vorige formule van uitdrukking 2 toe.
k = 1,96
Vervanging van de waarde van k: 1- (1 / (1,96 2)) = 0,739 = 73,9%
Dit betekent dat 73,9% van de resultaten in het betrouwbaarheidsinterval liggen op 1,96 standaarddeviaties van het gemiddelde.
Laten we het vorige voorbeeld doen voor andere waarden dan k.
k = 2.46
k = 3
Vervanging van de waarde van k: 1- (1 / (2,46 2)) = 0,835 = 83,5%
Vervanging van de waarde van k: 1- (1 / (3 2)) = 0,889 = 88,9%
Er zijn 83,5% van de gegevens die zich op een afstand van 2,46 standaarddeviaties van het gemiddelde bevinden en 88,9% die binnen 3 standaarddeviaties van het gemiddelde liggen.
Met behulp van de ongelijkheid van Chebyshev is het gemakkelijk om af te leiden dat hoe hoger de waarde van K (hoe groter de afwijking van de geschatte waarde van het gemiddelde), hoe groter de kans dat de willekeurige variabele binnen het begrensde interval ligt.
KurtosisCentrale limietstellingOngelijkheid