De variantie-covariantiematrix is een vierkante matrix met dimensie nxm die de varianties in de hoofddiagonaal en de covarianties in de elementen buiten de hoofddiagonaal verzamelt.
Met andere woorden, de variantie-covariantiematrix is een matrix met hetzelfde aantal rijen en kolommen en heeft de varianties verdeeld over de hoofddiagonaal en de covarianties op de elementen buiten de hoofddiagonaal.
CovariantieMatrixweergave
De variantie-covariantiematrix wordt meestal uitgedrukt als
Hoewel het lijkt dat het het symbool is van de sommatie en dat het geen relatie heeft met de variantie-covariantiematrix, vertegenwoordigt deze Griekse letter perfect de inhoud van deze matrix.
Laten we, om het te begrijpen, eerst kijken naar de uitdrukking ervan:
Wetende dat er is m kolommen, geeft het weglatingsteken aan dat de kolommen tussen de tweede en laatste kolom zijn weggelaten. Evenzo, wetende dat er is nee rijen, geeft het weglatingsteken aan dat de rijen tussen de tweede en de laatste rij zijn weggelaten.
In dit geval gebruiken we sigma om de covarianties weer te geven en sigma in het kwadraat voor de varianties. Als voorbeeld:
Welke Griekse letter komt in alle elementen van de matrix voor? De sigma.
Het is dus logisch dat, om de variantie-covariantiematrix te definiëren, ook een sigma wordt gebruikt.
Griekse letter
is de hoofdletter van
Dus als we onthouden dat de variantie-covariantiematrix wordt uitgedrukt als de hoofdletter van sigma, zal het gemakkelijker zijn om de definitie ervan te onthouden.
Vereisten om een variantie-covariantiematrix te zijn
De vereisten voor een matrix om variantie-covariantie te zijn, zijn de volgende:
- vierkante matrix: hetzelfde aantal rijen (n) als kolommen (m), dan, n = m, en daarom kan de afmeting van deze matrix zowel nxm als nxn worden uitgedrukt.
- In de hoofddiagonaal er zijn varianties:
- Uit de hoofddiagonaal er zijn covarianties:
App
De variantie-covariantiematrix is erg populair in de econometrie, omdat deze voornamelijk wordt gebruikt bij de matrixberekening van de coëfficiënten van lineaire regressie met behulp van onder meer gewone kleinste kwadraten.
In de financiële wereld wordt het gebruikt om een algemeen beeld te krijgen van de volatiliteit van financiële activa.
Wiskundige uitdrukking van variantie en covariantie
Wiskunde wordt als volgt uitgedrukt:
- Covariantie van het element n = 1 en m = 2
- Variantie van het element n = 1 en m = 1
Zowel variantie als covariantie kunnen worden gecorrigeerd. Dat wil zeggen, de noemer is n-1 in plaats van n. Dit komt door de vrijheidsgraden en hangt ervan af of we het hebben over populatie- of steekproefvarianties en covarianties.