Een voldoende statistiek voor een parameter Θ is een die in staat is om alle informatie te verzamelen of samen te vatten die de steekproef van een willekeurige variabele X bevat.
We weten dat een statistiek een reële functie van de steekproef is. Dat wil zeggen, er zijn echte waarden in de steekproef nodig. Van daaruit, zoals we hebben gezien in het artikel waarin het begrip statistiek wordt gedefinieerd, moeten we ervoor zorgen dat de statisticus bepaalde eigenschappen heeft. Waarom dergelijke eigenschappen eisen? Om ervoor te zorgen dat de statistiek nuttig is voor onze doeleinden.
Voldoende is een van die eigenschappen. Op een veel eenvoudigere manier zullen we zeggen dat een statistiek voldoende is als alle informatie in de steekproef wordt gebruikt.
Hoe weet je of een statistiek voldoende is?
Logischerwijs rijst de vraag: hoe kan ik weten of een T-statistiek voldoet aan de eigenschap toereikendheid? Of hoe kan ik, als deze bestaat, een statistiek vinden die voldoet aan de eigenschap toereikendheid. Het antwoord op deze twee vragen is te vinden in twee stellingen:
- Fisher-Neyman factorisatie criterium: Dit criterium stelt dat gegeven een statistiek T, als deze aan bepaalde voorwaarden voldoet, het een voldoende statistiek is.
- Stelling van Darmois: Deze stelling beantwoordt de tweede vraag. Dat wil zeggen, het stelt ons in staat om een voldoende statistiek te vinden via een reeks procedures.
Voorbeeld van een voldoende statistiek
Stel dat we het gemiddelde jaarinkomen willen berekenen van gezinnen die in Chili wonen. Om dit te doen, zullen we het volgende proces volgen:
- Verzamel informatie (voorbeeld): Omdat we niet alle gezinnen die in Chili wonen kunnen vragen hoeveel ze op jaarbasis verdienen, zullen we een representatieve steekproef nemen van bijvoorbeeld 1.000 gezinnen.
- Identificeer de willekeurige variabele die wordt bestudeerd: De willekeurige variabele die wordt onderzocht, is het gezinsinkomen. Dus: X → Gezinsinkomen
- Kies de juiste statistiek: De juiste statistiek om het gemiddelde inkomen te berekenen is niets anders dan de verwachting van X. Met andere woorden, het steekproefgemiddelde van X.
- Hoe weet ik of de steekproefgemiddelde statistiek voldoende is? Omdat we de wiskundige uitdrukking van de statistiek al hebben, zullen we het Fisher-Neyman-factoringcriterium gebruiken. Of, de stelling van Darmois. Het zijn formules die voor dit doel zijn gemaakt.
Na toepassing van de juiste berekeningen concluderen we dat de steekproefgemiddelde statistiek voldoet aan de eis of eigenschap van toereikendheid. Door ervoor te zorgen dat het aan deze eis voldoet, zorgen we ervoor dat deze (statistische) functie, waarmee we de informatie (het gemiddelde inkomen) kunnen synthetiseren, alle informatie in de steekproef (de 1.000 gezinnen) gebruikt.
Waarom is het belangrijk dat ik alle informatie in het voorbeeld gebruik?
Nu we weten dat het steekproefgemiddelde een voldoende statistiek is, gaan we uit van een geval. Wat voor zin zou het hebben om het gemiddelde inkomen te willen berekenen op basis van die 1.000 Chileense gezinnen en dat we alleen de gegevens van 500 gezinnen gebruiken?
Het zou natuurlijk geen zin hebben. We willen een overzicht van alle informatie. Dat wil zeggen, wat we hebben gedefinieerd als voldoende statistiek.
