De stelling van Bayes wordt gebruikt om de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis te berekenen, met vooraf informatie over die gebeurtenis.
We kunnen de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis A berekenen, ook wetende dat die A voldoet aan een bepaald kenmerk dat de waarschijnlijkheid bepaalt. De stelling van Bayes begrijpt waarschijnlijkheid omgekeerd aan de totale waarschijnlijkheidsstelling. De totale waarschijnlijkheidsstelling maakt een gevolgtrekking over een gebeurtenis B uit de resultaten van gebeurtenissen A. Bayes van zijn kant berekent de kans op A afhankelijk van B.
De stelling van Bayes is op grote schaal in twijfel getrokken. Wat vooral te wijten was aan de slechte toepassing ervan. Aangezien, zolang aan de veronderstellingen van onsamenhangende en uitputtende gebeurtenissen is voldaan, is de stelling volledig geldig.
Formule van Bayes-stelling
Om de kans te berekenen zoals gedefinieerd door Bayes in dit type gebeurtenis, hebben we een formule nodig. De formule is wiskundig gedefinieerd als:
Waarbij B de gebeurtenis is waarover we eerdere informatie hebben en A (n) de verschillende geconditioneerde gebeurtenissen zijn. In het deel van de teller hebben we de voorwaardelijke kans, en in het onderste deel de totale kans. Hoe dan ook, hoewel de formule een beetje abstract lijkt, is het heel eenvoudig. Om dit aan te tonen, gebruiken we een voorbeeld waarin we in plaats van A (1), A (2) en A (3) rechtstreeks A, B en C gebruiken.
Voorbeeld van de stelling van Bayes
Een bedrijf heeft een fabriek in de Verenigde Staten met drie machines, A, B en C, die containers voor waterflessen produceren. Het is bekend dat machine A 40% van de totale hoeveelheid produceert, machine B 30% en machine C 30%. Het is ook bekend dat elke machine defecte verpakkingen produceert. Op zo'n manier dat machine A 2% van de defecte verpakkingen van haar totale productie produceert, machine B 3% en machine C 5%. Dat gezegd hebbende, rijzen er twee vragen:
P (A) = 0,40 P (D / A) = 0,02
P (B) = 0,30 P (D / B) = 0,03
P (C) = 0,30 P (D / C) = 0,05
1. Als een container is vervaardigd door de fabriek van dit bedrijf in de Verenigde Staten, wat is dan de kans dat deze defect is?
De totale kans wordt berekend. Omdat we uit de verschillende gebeurtenissen de kans berekenen dat het defect is.
P (D) = (P (A) x P (D / A)) + (P (B) x P (D / B)) + (P (C) x P (D / C)) = (0, 4 x 0,02) + (0,3 x 0,03) + (0,3 x 0,05) = 0,032
Uitgedrukt als een percentage zouden we zeggen dat de kans dat een door de fabriek van dit bedrijf in de Verenigde Staten vervaardigde container defect is, 3,2% is.
2. Voortgaand op de vorige vraag: als een container is aangeschaft en deze defect is, wat is dan de kans dat deze is vervaardigd door machine A? En door machine B? En door machine C?
De stelling van Bayes wordt hier gebruikt. We hebben voorafgaande informatie, dat wil zeggen, we weten dat de verpakking defect is. Natuurlijk, wetende dat het defect is, willen we weten wat de kans is dat het door een van de machines is geproduceerd.
P (A / D) = (P (A) x P (D / A)) / P (D) = (0,40 x 0,02) / 0,032 = 0,25
P (B / D) = (P (B) x P (D / B)) / P (D) = (0,30 x 0,03) / 0,032 = 0,28
P (C / D) = (P (C) x P (D / C)) / P (D) = (0,30 x 0,05) / 0,032 = 0,47
Wetende dat een container defect is, is de kans dat deze is geproduceerd door machine A 25%, dat deze is geproduceerd door machine B is 28% en dat deze is geproduceerd door machine C is 47%.