De Cramer-Rao-grens (CCR) is de minimale variantie die een schatter van één parameter kan bereiken, gegeven regelmatigheidsomstandigheden.
Met andere woorden, we zoeken naar de variantie die het dichtst bij deze ondergrens ligt om de beste schatter te vinden volgens de eigenschappen onbevooroordeeldheid en efficiëntie.
Het wordt aanbevolen om de eigenschappen van de schatters te lezen
Deze eigenschappen worden gebruikt wanneer we een schatter moeten kiezen om een econometrische analyse uit te voeren. Als we willen dat onze resultaten sluitend zijn, moeten we minimaal eisen dat de schatter onbevooroordeeld is en de kleinst mogelijke variantie van alle onbevooroordeelde schatters heeft (efficiëntie).
Hoewel we rekening houden met alle zuivere schatters, kan het gebeuren dat er een andere zuivere schatter is die minder variantie heeft.
Om ervoor te zorgen dat er geen zuivere schatter met minimale variantie aan ons ontsnapt, stellen we een minimum- of ondergrens vast die de variantie van de zuivere schatter van een parameter niet mag overschrijden.
We kijken alleen naar de onbevooroordeelde schatters omdat de bevooroordeelde schatters varianties kunnen hebben die kleiner zijn dan de CCR.
formulering
Wij definiëren:
f (X; ): kansdichtheidsfunctie.
E (·): wiskundige hoop.
ik (Θ): Fisher-informatie van een parameter.
Vertegenwoordigt "de hoeveelheid informatie" over de waarde van de parameter in een waarneming van de willekeurige variabele X.
Formule:
Geen paniek! Wat kunnen we op het eerste gezicht zien aan deze formule?
- We kunnen zien dat het een niet-strikte ongelijkheid (≥) is in plaats van een gelijkheid (=). Dit komt omdat we in sommige gevallen geen zuivere schatter vinden (bestaat niet) die de CCR-grens bereikt. Daarom zeggen we dat we op zoek zijn naar de variantie van een zuivere schatter die zo dicht mogelijk bij deze ondergrens ligt. Bovendien vertelt de CCR ons wat de minimale variantie van de schatter zal zijn, onder dit cijfer kan deze niet worden gevonden.
- Het deel rechts (var (Θ ’) is de variantie van de schatting van onze parameter.
- Het gedeelte links (1 / J (Θ)) is het onoverkomelijke minimum van de variantie.
- Als we een (absoluut) minimum zoeken voor de variantie van de schatter van Θ, dan is het logisch dat partiële afgeleiden (afgeleide van Θ) verschijnen.
- In de economie worden partiële afgeleiden gebruikt in eerste en tweede orde omstandigheden om nutsfuncties te optimaliseren: vind respectievelijk de relatieve en absolute maxima en minima.
- CCR gebruikt de eerste partiële afgeleide van de parameter Θ op de kansdichtheidsfunctie f (X; Θ)
- Om de berekening te vergemakkelijken, worden in sommige gevallen de tweede afgeleide en alternatieve Fisher-informatie gebruikt om CCR te verkrijgen.
De schatters die, omdat ze onbevooroordeeld zijn, een variantie hebben die gelijk is aan de CCR, worden dan als de meest efficiënte beschouwd. Evenzo zullen die onbevooroordeelde waarvan de variantie dichterbij is, relatief efficiënter worden beschouwd dan de andere schatters (verder weg).