Een lineaire combinatie van vectoren treedt op wanneer een vector kan worden uitgedrukt als een lineaire functie van andere vectoren die lineair onafhankelijk zijn.
Met andere woorden, de lineaire combinatie van vectoren is dat een vector kan worden uitgedrukt als een lineaire combinatie van andere vectoren die lineair onafhankelijk van elkaar zijn.
Vereisten voor lineaire combinatie van vectoren
De lineaire combinatie van vectoren moet aan twee eisen voldoen:
- Dat een vector kan worden uitgedrukt als een lineaire combinatie van andere vectoren.
- Laat deze andere vectoren lineair onafhankelijk van elkaar zijn.
Lineaire combinatie in calculus
In de basiswiskunde zijn we gewend om vaak lineaire combinaties te zien zonder het te beseffen. Een regel is bijvoorbeeld een combinatie van de ene variabele ten opzichte van de andere, zodat:
Maar wortels, logaritmen, exponentiële functies … zijn niet langer lineaire combinaties omdat de verhoudingen niet constant blijven voor de hele functie:
Dus als we het hebben over lineaire combinaties van vectoren, zal de structuur van de vergelijking de volgende vorm hebben:
Omdat we het over vectoren hebben en de vorige vergelijking naar variabelen verwijst, hoeven we om de combinatie van vectoren te bouwen alleen de variabelen door vectoren te vervangen. Laat de volgende vectoren zijn:
We kunnen ze dus als volgt als lineaire combinatie schrijven:
De vectoren zijn lineair onafhankelijk van elkaar.
Griekse letter lambda fungeert als de parameter m in de algemene vergelijking van de lijn. Lambda is een willekeurig reëel getal en als het niet verschijnt, is de waarde gelijk aan 1.
Dat de vectoren lineair onafhankelijk zijn, betekent dat geen van de vectoren kan worden uitgedrukt als een lineaire combinatie van de andere. Het is bekend dat de onafhankelijke vectoren een basis van de ruimte vormen en de afhankelijke vector hoort ook bij die ruimte.
Voorbeeld van parallellepipedum
We nemen aan dat we drie vectoren hebben en we willen ze uitdrukken als een lineaire combinatie. We weten ook dat elke vector uit hetzelfde hoekpunt komt en de abscis van dat hoekpunt vormt. De geometrische figuur is een parallellepipedum. Omdat ze ons vertellen dat de geometrische figuur die deze vectoren vormen de abscis van een parallellepipedum is, begrenzen de vectoren de vlakken van de figuur.
Ten eerste moeten we weten of de vectoren lineair afhankelijk zijn. Als de vectoren lineair afhankelijk zijn, dan kunnen we er geen lineaire combinatie van vormen.
Drie vectoren:
Hoe kunnen we weten of de vectoren lineair afhankelijk zijn als ze ons geen informatie geven over hun coördinaten?
Nou ja, logica gebruiken. Als de vectoren lineair afhankelijk waren, zouden alle vlakken van het parallellepipedum instorten. Met andere woorden, ze zouden hetzelfde zijn.
Daarom kunnen we een nieuwe vector uitdrukken met wie als resultaat van de lineaire combinatie van de vorige vectoren:
Vector die de combinatie van de vorige vectoren vertegenwoordigt:
Grafisch:
