Functionele vergelijkingen zijn vergelijkingen die een andere functie als onbekend hebben. Een functie die kan worden gekoppeld aan een algebraïsche bewerking zoals optellen, aftrekken, delen, vermenigvuldigen, macht of wortel.
Ook functionele vergelijkingen kunnen worden gedefinieerd als vergelijkingen die niet gemakkelijk te herleiden zijn tot een algebraïsche functie, van het type f (x) = 0, voor hun resolutie.
Functionele vergelijkingen worden gekenmerkt omdat er niet één manier is om ze op te lossen. Bovendien kan de betreffende variabele verschillende waarden aannemen (we zullen het zien met voorbeelden).
Voorbeelden van functionele vergelijkingen
Enkele voorbeelden van functionele vergelijkingen zijn:
f (xy) = f (x) f (y)
f (x2+ en2) = f (xy)2/2
f (x) = f (x + 3) / x
In gevallen zoals de vorige kan bijvoorbeeld worden toegevoegd dat x behoort tot de verzameling reële getallen, dat wil zeggen x ∈ R (nul kan worden uitgesloten).
Voorbeelden van functionele vergelijkingen
Laten we enkele voorbeelden van opgeloste functionele vergelijkingen bekijken:
f (1 / 2x) = x-3f (x)
Dus als ik x vervang door 1/2x:
f (1/2 (1 / 2x)) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)
f (x) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)
f (x) = (1 / 2x) -3 (x-3f (x))
f (x) = (1 / 2x) -3x + 9f (x)
8f (x) = 3x- (1 / 2x)
f (x) = (3/8) x- (1 / 16x)
Laten we nu een ander voorbeeld bekijken met een beetje meer moeite, maar waar we op een vergelijkbare manier te werk zullen gaan:
X2f (x) -f (5-x) = 3x… (1)
In dit geval lossen we eerst f (5-x) op
f (5-x) = x2f (x) -3x… (2)
Nu vervang ik x door 5-x in vergelijking 1:
(5-x)2f (5-x) -f (5- (5-x)) = 3 (5-x)
(25-10x + x2) .f (5-x) -f (x) = 15-3x
We herinneren ons dat f (5-x) in vergelijking 2 staat:
(25-10x + x2). (x2f (x) -3x) -f (x) = 15-3x
25x2-75x-10x3f (x) + 30x2+ x4f (x) -3x3-f (x) = 15-3x
f (x) (x4-10x3-1) = 3x3-55x2+ 72x
f (x) = (3x3-55x2+ 72x) / (x4-10x3-1)
Functionele vergelijking van Cauchy
De functionele functie Cauchy is een van de meest elementaire in zijn soort. Deze vergelijking heeft de volgende vorm:
f (x + y) = f (x) + f (y)
Ervan uitgaande dat x en y in de reeks rationale getallen zijn, vertelt de oplossing van deze vergelijking ons dat f (x) = cx, waarbij c een constante is, en hetzelfde gebeurt met f (y).