Eigenschappen van schatters

De eigenschappen van de schatters zijn de kwaliteiten die deze kunnen hebben en die dienen om die te kiezen die beter in staat zijn om goede resultaten te geven.

Om te beginnen met het definiëren van het concept schatter, zullen we zeggen dat gegeven een willekeurige steekproef (x₁, x₂, x₃,…, X_nee) een schatter vertegenwoordigt een populatie die afhangt van φ een parameter die we niet kennen.

Deze parameter, die we aanduiden met de Griekse letter fi (φ), kan bijvoorbeeld het gemiddelde zijn van elke willekeurige variabele.

Wiskundig gezien hangt een Q-schatter met één parameter af van de willekeurige waarnemingen in de steekproef (x₁, x₂, x₃,…, X_nee) en een bekende functie (h) van het monster. De schatter (Q) is een willekeurige variabele omdat deze afhangt van de steekproef die willekeurige variabelen bevat.

Q = h (x₁, x₂, x₃,…, X_nee)

Onpartijdigheid van een schatter

Een Q-schatter van φ is een zuivere schatter als E (Q) = φ voor alle mogelijke waarden van φ. We definiëren E (Q) als de verwachte waarde of verwachting van de schatter Q.

In het geval van bevooroordeelde schatters, zou deze vertekening worden weergegeven als:

Bias (Q) = E (Q) - φ

We kunnen zien dat de vertekening het verschil is tussen de verwachte waarde van de schatter, E (Q), en de werkelijke waarde van de populatieparameter, .

Puntschatting

Efficiëntie van een schatter

Ja Q₁ en Q₂ zijn twee onbevooroordeelde schatters van φ, hun relatie met Q zal efficiënt zijn₂ wanneer Var (Q₁) ≤ Var (Q₂) voor elke waarde van φ zolang de statistische steekproef van φ strikt groter is dan 1, n> 1. Waar Var de variantie is en n de steekproefomvang.

Intuïtief gesteld, ervan uitgaande dat we twee schatters hebben met de onbevooroordeelde eigenschap, kunnen we zeggen dat één (Q₁) is efficiënter dan een andere (Q₂) als de variabiliteit van de resultaten van één (Q₁) kleiner is dan die van de andere (Q₂). Het is logisch om te denken dat het ene ding dat meer varieert dan het andere minder 'precies' is.

Daarom kunnen we dit criterium alleen gebruiken voor het selecteren van schatters als ze onbevooroordeeld zijn. In de vorige verklaring, toen we de efficiëntie definiëren, nemen we al aan dat de schatters onbevooroordeeld moeten zijn.

Om schatters te vergelijken die niet noodzakelijk zuiver zijn, dat wil zeggen dat er vertekening kan bestaan, wordt aanbevolen om de Mean Square Error (MSE) van de schatters te berekenen.

Als Q een schatter is van φ, dan is de ECM van Q gedefinieerd als:

De Mean Square Error (MSE) berekent de gemiddelde afstand die bestaat tussen de verwachte waarde van de steekproefschatter Q en de populatieschatter. De kwadratische vorm van de ECM is te wijten aan het feit dat de fouten standaard negatief of overmatig positief kunnen zijn ten opzichte van de verwachte waarde. Op deze manier berekent ECM altijd positieve waarden.

ECM is afhankelijk van variantie en vertekening (indien aanwezig), waardoor we twee schatters kunnen vergelijken wanneer een of beide bevooroordeeld zijn. Degene wiens BDE groter is, zal als minder nauwkeurig worden beschouwd (meer fouten) en daarom minder efficiënt.

Consistentie van een schatter

Consistentie is een asymptotische eigenschap. Deze eigenschap lijkt op de efficiëntie-eigenschap met het verschil dat consistentie de waarschijnlijke afstand meet tussen de waarde van de schatter en de werkelijke waarde van de populatieparameter als de steekproefomvang oneindig toeneemt. Deze onbepaalde toename van de steekproefomvang is de basis van de asymptotische eigenschap.

Er is een minimale steekproefomvang om de asymptotische analyse uit te voeren (controleer de consistentie van de schatter naarmate de steekproef groter wordt). Grote steekproefbenaderingen werken goed voor steekproeven van ongeveer 20 waarnemingen (n = 20). Met andere woorden, we willen zien hoe de schatter zich gedraagt ​​wanneer we de steekproef vergroten, maar deze toename neigt naar oneindig. Op basis hiervan maken we een benadering en vanaf 20 waarnemingen in een steekproef (n 20) is de asymptotische analyse geschikt.

Wiskundig definiëren we Q₁n als schatter van φ uit een willekeurige steekproef (x₁, x₂, x₃,…, X_nee) van grootte (nee). We kunnen dus zeggen dat Q_nee is een consistente schatter van φ als:

Dit vertelt ons dat de verschillen tussen de schatter en zijn populatiewaarde, | Q_nee - φ |, ze moeten groter zijn dan nul. Hiervoor drukken we het uit in absolute waarde. De kans op dit verschil neigt naar 0 (wordt kleiner en kleiner) wanneer de steekproefomvang (nee) neigt naar oneindig (wordt groter en groter).

Met andere woorden, het is steeds minder waarschijnlijk dat Q_nee beweegt te ver weg van φ wanneer de steekproefomvang toeneemt.