Modulus van een vector en de stelling van Pythagoras

De module van een vector is de lengte van een segment georiënteerd in een ruimte die wordt bepaald door twee punten en hun volgorde.

Met andere woorden, de modulus van een vector is de lengte tussen het begin en het einde van de vector, dat wil zeggen, waar de pijl begint en waar deze eindigt.

Gegeven een tweedimensionale vector:

De informatie die de coördinaten van de vector ons geven, dat wil zeggen vx en vy, is respectievelijk de lengte voor de x-as en de lengte voor de y-as.

Dus als we de coördinaten kennen, kunnen we de modulus van de vector berekenen.

Modulus van een vector en de stelling van Pythagoras

Doet de vorige tekening je niet denken aan een geometrische figuur?

Precies, we kunnen ons voorstellen dat de coördinaatassen naast de vector een rechthoek vormen met grondtal vx en hoogte vy. We kunnen deze rechthoek verdelen in twee symmetrische driehoeken, dat wil zeggen dat ze allebei dezelfde basis en hoogte hebben.

De blauw gearceerde driehoek heeft een basis van vx en een hoogte van vy. Dus als we deze informatie kennen, kunnen we de hypotenusa ervan kennen. Er is een zeer beroemde stelling bekend als de stelling van Pythagoras die voor deze berekeningen wordt gebruikt.

Demonstratie

We weten dat de formule van Pythagoras als volgt is:

Waar h de hypotenusa is, is c één been en is c een ander been.

In ons geval weten we hoeveel onze benen waard zijn, oftewel de basis en de hoogte. Dus we kunnen die informatie in de vergelijking stoppen:

We gaan verder met het verwijderen van het kwadraat van h door de vierkantswortel toe te passen:

Als we zeggen dat vx = 3 en vy = 6:

Daarom, als v een vector zou zijn met coördinaten (3,6), dan zouden we weten dat zijn modulus 6,7082 is. Precies, de modulus, want de formule voor de modulus van elke vector v is:

We zien dat precies de informatie die we missen in de vergelijking samenvalt met de hypotenusa. Met andere woorden, de lengte van de vector is wat we willen berekenen en de hypotenusa is de diagonaal van de driehoek. Daarom kunnen we concluderen dat het gebruik van de stelling van Pythagoras om de modulus van de vector te berekenen een geldige methode is.

Dus als we de modulus van een vector moeten berekenen en we herinneren ons de formule niet, dan kunnen we nadenken over de stelling van Pythagoras en het probleem oplossen.

Oefening opgelost

Bereken de modulus van de vector v met coördinaten (-3, -6) volgens de stelling van Pythagoras.

De modulus van de vector v met coördinaten (-3,6) berekend met de formule van de stelling van Pythagoras is ook 6,7082.