De regel van Laplace is een methode waarmee je snel de determinant van een vierkante matrix met afmeting 3 × 3 of groter kunt berekenen door middel van een recursieve expansiereeks.
Met andere woorden, de regel van Laplace berekent de initiële matrix in lager-dimensionale matrices en past het teken aan op basis van de positie van het element in de matrix.
Deze methode kan worden uitgevoerd met rijen of kolommen.
Aanbevolen artikelen: matrices, matrixtypologieën en determinant van een matrix.
Regelformule van Laplaceplace
Gegeven een matrix Zmxn elke dimensie mxn,waar m = n, het breidt zich uit ten opzichte van de i-de rij, dan:
- Dijis de determinant verkregen door het elimineren van de i-de rij en de i-de kolom van Zmxn.
- Mijis de ik, j-th minder. de bepalende factor Dijin functie van Mijheet de i, j-th cofactorvan de matrix Zmxn.
- naar is de tekeninstelling van de positie.
Theoretisch voorbeeld van de regel van Laplace
wij definiëren NAAR3×3 Wat:
- Laten we beginnen met het eerste element a11. We raspen de rijen en kolommen waaruit het bestaat11. De elementen die overblijven zonder rooster, zullen de eerste bepalende factor zijn minder vermenigvuldigd met a11.
2. We gaan verder met het tweede element van de eerste rij, namelijk to12. We herhalen het proces: we raspen de rijen en kolommen die bevatten12.
We passen het teken van de minderjarige aan:
We voegen de tweede determinant . toe mindernaar het vorige resultaat en we vormen een uitbreidingsreeks zodat:
3. We gaan verder met het derde element van de eerste rij, namelijk to13. We herhalen het proces: we raspen de rij en kolom die bevatten13.
We voegen de derde determinant . toe minder naar het vorige resultaat en we breiden de uitbreidingsreeks zodanig uit dat:
Omdat er geen elementen meer zijn in de eerste rij, sluiten we het recursieve proces. We berekenen de determinanten minderjarigen.
Op dezelfde manier waarop elementen uit de eerste rij zijn gebruikt, kan deze methode ook worden toegepast met kolommen.
Praktijkvoorbeeld van de regel van Laplace
wij definiëren NAAR3×3Wat:
1. Laten we beginnen met het eerste element r11= 5. We raspen de rijen en kolommen waaruit het bestaat11= 5. De elementen die overblijven zonder rooster, zullen de eerste bepalende factor zijn minder vermenigvuldigd met a11=5.
2. We gaan verder met het tweede element van de eerste rij, namelijk r12= 2. We herhalen het proces: we raspen de rijen en kolommen die r . bevatten12=2.
We passen het teken van de minderjarige aan:
We voegen de tweede determinant . toe minder naar het vorige resultaat en we vormen een uitbreidingsreeks zodat:
3. We gaan verder met het derde element van de eerste rij, namelijk r13= 3. We herhalen het proces: we raspen de rij en kolom die r . bevatten13=3.
We voegen de derde determinant . toe minder naar het vorige resultaat en we breiden de uitbreidingsreeks zodanig uit dat:
De determinant van de matrixR3×3 is 15.