Een antisymmetrische matrix is een vierkante matrix waarbij de elementen buiten de hoofddiagonaal symmetrisch gelijk zijn maar die onder de hoofddiagonaal een minteken dragen.
Met andere woorden, een antisymmetrische matrix is een matrix die hetzelfde aantal rijen (n) en kolommen (m) heeft en de elementen aan beide zijden van de hoofddiagonaal zijn complementair.
Aangezien de elementen boven en onder de hoofddiagonaal zijn verschoven, zijn de elementen op de hoofddiagonaal nullen.
Aanbevolen artikel: niet-symmetrische matrix en symmetrische matrix.
Kenmerken van de antisymmetrische matrix
De kenmerken van een antisymmetrische matrix zijn:
- Vierkante matrix.
- Symmetrische matrix + minteken (-) in de elementen onder de hoofddiagonaal.
- Elementen van de hoofddiagonaal zijn nullen (0).
Antisymmetrische matrix
Gegeven een vierkante matrix AAS,
We kunnen zien hoe dezelfde elementen aan beide zijden van de hoofddiagonaal verschijnen, maar met de bijzonderheid dat de elementen onder de hoofddiagonaal een minteken ervoor hebben. Ook bestaat de hoofddiagonaal uit nullen.
De antisymmetrische matrix en spiegels
Op dezelfde manier als de symmetrische matrix, kan de antisymmetrische matrix ook worden begrepen door het voorbeeld van de spiegel.
Als we naar onszelf in de spiegel kijken en onze rechterarm opheffen, zullen we zien dat de persoon in de spiegel zijn linkerarm opheft. Met andere woorden, de beweging van de spiegel is een aanvulling op de onze en daarom zou de som van beide resulteren in nul.
We kunnen het bovenstaande idee als volgt uitdrukken en afleiden:
(Steek je hand omhoog Rechtsaf) - (Steek je hand omhoog links) = 0
(Steek je hand omhoog Rechtsaf) = (Steek je hand omhoog links)
De hoofddiagonaal fungeert als een spiegel en we zien tegengestelde elementen aan beide zijden van de hoofddiagonaal. De neutrale functie (=) verwijst naar de hoofddiagonaal.
Eigendom
- De getransponeerde matrix van een antisymmetrische matrix is gelijk aan de antisymmetrische matrix vermenigvuldigd met (-1).
Met andere woorden, het zou hetzelfde zijn als het toevoegen van een negatief teken voor de antisymmetrische matrix.
wiskundig,
We kunnen zien dat we met beide procedures tot hetzelfde resultaat komen: de matrix getransponeerd of vermenigvuldigd met (-1) de antisymmetrische matrix.
Niet-symmetrische matrix versus antisymmetrische matrix versus symmetrische matrix
Het voorbeeld van de spiegel in het geval van de symmetrische matrix is voldoende om dezelfde beweging weer te geven, dat wil zeggen, als we een arm optillen, kunnen we een opgeheven arm zien, maar het is niet nodig om aan te geven wat het is. In het geval van de antisymmetrische matrix moeten we nagaan welke arm we in de spiegel zien en bepalen of het een antisymmetrische matrix is.
Als we een arm opsteken en in de spiegel zien we dat…
- Dezelfde arm wordt opgeheven, vanuit het oogpunt van de persoon in de spiegel, dan is het een symmetrische matrix.
- De tegenovergestelde arm wordt opgeheven, vanuit het oogpunt van de persoon in de spiegel, dan is het een antisymmetrische matrix.
- Als er vanuit het gezichtspunt van de persoon in de spiegel geen of meer dan één arm wordt geheven, is er sprake van een niet-symmetrische matrix.
