De wiskundige verwachting van een willekeurige variabele X is het getal dat de gemiddelde waarde uitdrukt van het fenomeen dat deze variabele vertegenwoordigt.
De wiskundige verwachting, ook wel de verwachte waarde genoemd, is gelijk aan de som van de kansen dat een willekeurige gebeurtenis bestaat, vermenigvuldigd met de waarde van de willekeurige gebeurtenis. Met andere woorden, het is de gemiddelde waarde van een dataset. Dit, rekening houdend met het feit dat de term wiskundige verwachting is bedacht door de waarschijnlijkheidstheorie.
Terwijl in de wiskunde de gemiddelde waarde van een gebeurtenis die heeft plaatsgevonden, een wiskundig gemiddelde wordt genoemd. In discrete distributies met dezelfde waarschijnlijkheid in elke gebeurtenis, is het rekenkundig gemiddelde hetzelfde als de wiskundige verwachting.
Voorbeeld van wiskundige verwachting
Laten we een eenvoudig voorbeeld bekijken om het te begrijpen.
Laten we ons een munt voorstellen. Twee koppen, koppen en staarten. Wat zou de wiskundige verwachting (verwachte waarde) zijn dat het eruit zal komen?
De wiskundige verwachting zou worden berekend als de kans dat, door de munt een zeer groot aantal keren op te werpen, deze met de kop omhoog zal komen.
Aangezien de munt alleen in een van die twee posities kan landen en beide dezelfde kans hebben om eruit te komen, zullen we zeggen dat de wiskundige verwachting dat de munt met kop naar buiten zal komen, één op twee is, of wat hetzelfde is, 50% van de tijd.
We gaan een test doen en we gaan 10 keer een munt opgooien. Stel dat de munt perfect is.
Spins en resultaat:
- Duur.
- Kruis.
- Kruis.
- Duur.
- Kruis.
- Duur.
- Duur.
- Duur.
- Kruis.
- Kruis.
Hoe vaak is het kop geweest (we tellen de C's)? 5 keer Hoe vaak zijn de staarten naar buiten gekomen (we tellen de X'en)? 5 keer. De kans om kop te zijn is 5/10 = 0,5 of, als percentage, 50%.
Zodra die gebeurtenis heeft plaatsgevonden, kunnen we het wiskundige gemiddelde berekenen van het aantal keren dat elke gebeurtenis heeft plaatsgevonden. De dure kant komt één op de twee keer uit, dat wil zeggen 50% van de tijd. Het gemiddelde komt overeen met de wiskundige verwachting.
Berekening van wiskundige verwachting
De wiskundige verwachting wordt berekend met behulp van de waarschijnlijkheid van elke gebeurtenis. De formule die deze berekening formaliseert, luidt als volgt:
Waar:
- X = gebeurteniswaarde.
- P = Waarschijnlijkheid van gebeuren.
- ik = Periode waarin deze gebeurtenis plaatsvindt.
- nee = Totaal aantal perioden of waarnemingen.
De kans op een gebeurtenis is niet altijd hetzelfde, zoals bij munten. Er zijn talloze gevallen waarin de ene gebeurtenis eerder uitkomt dan de andere. Daarom gebruiken we P. In de formule moeten we ook vermenigvuldigen met de waarde van de gebeurtenis bij het berekenen van wiskundige getallen. Hieronder zien we een voorbeeld.
Waar wordt wiskundige verwachting voor gebruikt?
De wiskundige verwachting wordt gebruikt in al die disciplines waarin de aanwezigheid van probabilistische gebeurtenissen inherent aan hen is. Disciplines zoals theoretische statistiek, kwantumfysica, econometrie, biologie of financiële markten. Een groot aantal processen en gebeurtenissen die in de wereld plaatsvinden, zijn onnauwkeurig. Een duidelijk en gemakkelijk te begrijpen voorbeeld is dat van de aandelenmarkt.
Op de aandelenmarkt wordt alles berekend op basis van verwachte waarden.Waarom verwachte waarden? Omdat we hopen dat het zal gebeuren, maar we kunnen het niet bevestigen. Alles is gebaseerd op waarschijnlijkheden, niet op zekerheden. Als de verwachte waarde of wiskundige verwachting van het rendement van een actief 10% per jaar is, betekent dit dat, op basis van de informatie die we uit het verleden hebben, het zeer waarschijnlijk is dat het rendement weer 10% zal zijn. Als we natuurlijk maar rekening houden met wiskundige verwachtingen als methode om onze investeringsbeslissingen te nemen.
Binnen financiële markttheorieën gebruiken velen dit concept van wiskundige verwachting. Een van die theorieën is degene die Markowitz ontwikkelde over efficiënte portefeuilles.
Stel dat het rendement van een financieel actief de volgende is:
Winstgevendheid in jaar 1, 2, 3 en 4.
- 12%.
- 6%.
- 15%
- 12%
De verwachte waarde zou de som zijn van de opbrengsten vermenigvuldigd met hun waarschijnlijkheid van optreden. De kans dat elke winstgevendheid "gebeurt" is 0,25. We hebben vier waarnemingen, vier jaar. Elk jaar hebben ze dezelfde kans om zichzelf te herhalen.
Hoop = (12 x 0,25) + (6 x 0,25) + (15 x 0,25) + (12 x 0,25) = 3 + 1,5 + 3,75 + 3 = 11,25%
Rekening houdend met deze informatie, zullen we zeggen dat de verwachting van het rendement op het actief 11,25% is.
Levensverwachting