De kurtosis is een statistische maatstaf die de mate van concentratie bepaalt die de waarden van een variabele aanwezig zijn rond de centrale zone van de frequentieverdeling. Het wordt ook wel een gerichte maatregel genoemd.
Wanneer we een willekeurige variabele meten, zijn de resultaten met de hoogste frequentie in het algemeen die rond het gemiddelde van de verdeling. Laten we ons de lengte van de studenten in een klas voorstellen. Als de gemiddelde hoogte van de klas 1,72 cm is, is de normaalste zaak dat de lengte van de rest van de leerlingen rond deze waarde ligt (met een zekere mate van variabiliteit, maar zonder te groot te zijn). Als dit gebeurt, wordt de verdeling van de willekeurige variabele als normaal verdeeld beschouwd. Maar gezien de oneindigheid van variabelen die gemeten kunnen worden, is dit niet altijd het geval.
Er zijn enkele variabelen die een hogere mate van concentratie (minder spreiding) van de waarden rond hun gemiddelde vertonen en andere daarentegen een lagere mate van concentratie (grotere spreiding) van hun waarden rond hun centrale waarde. Daarom informeert kurtosis ons over hoe puntig (hogere concentratie) of afgeplat (lagere concentratie) een verdeling is.
Maatregelen van centrale tendensCumulatieve frequentieSoorten kurtosis
Afhankelijk van de mate van kurtosis hebben we drie soorten verdelingen:
1. Leptokurtisch: Er is een grote concentratie van waarden rond hun gemiddelde (g2>3)
2. Mesocúrtisch: Er is een normale concentratie van waarden rond hun gemiddelde (g2=3).
3. Platicúrtica: Er is een lage concentratie van de waarden rond hun gemiddelde (g2<3).
Kurtosis-metingen volgens de gegevens
Afhankelijk van de al dan niet groepering van de gegevens, wordt de ene of de andere formule gebruikt.
Niet-gegroepeerde gegevens:
Gegevens gegroepeerd in frequentietabellen:
Gegevens gegroepeerd in intervallen:
Voorbeeld van het berekenen van kurtosis voor niet-gegroepeerde gegevens
Stel dat we de kurtosis van de volgende verdeling willen berekenen:
8,5,9,10,12,7,2,6,8,9,10,7,7.
We berekenen eerst het rekenkundig gemiddelde (µ), dat 7,69 zou zijn.
Vervolgens berekenen we de standaarddeviatie, die 2,43 zou zijn.
Na het hebben van deze gegevens en voor het gemak bij de berekening, kan een tabel worden gemaakt om het deel van de teller (vierde moment van de verdeling) te berekenen. Voor de eerste berekening zou het zijn: (Xi-µ) 4 = (8-7,69) 4 = 0,009.
| Gegevens | (Xi-µ) 4 |
|---|---|
| 8 | 0,0090 |
| 5 | 52,5411 |
| 9 | 2,9243 |
| 10 | 28,3604 |
| 12 | 344,3330 |
| 7 | 0,2297 |
| 2 | 1049,9134 |
| 6 | 8,2020 |
| 8 | 0,0090 |
| 9 | 2,9243 |
| 10 | 28,3604 |
| 7 | 0,2297 |
| 7 | 0,2297 |
| N = 13 | ∑ = 1.518,27 |
Als we deze tabel eenmaal hebben gemaakt, hoeven we alleen maar de formule toe te passen die eerder is blootgesteld om de kurtosis te krijgen.
g2 = 1.518,27/13*(2,43)^4 = 3,34
In dit geval sinds g2 groter is dan 3, zou de verdeling leptokurtisch zijn, met een grotere pointing dan de normale verdeling.
Overmatige kurtosis
In sommige handleidingen wordt kurtosis gepresenteerd als overmatige kurtosis. In dit geval wordt het direct vergeleken met dat van de normale verdeling. Aangezien de normale verdeling kurtosis 3 heeft, hoeven we om het overschot te verkrijgen slechts 3 van ons resultaat af te trekken.
Overtollige kurtosis = g2-3 = 3,34-3 = 0,34.
De interpretatie van het resultaat in dit geval zou als volgt zijn:
g2-3> 0 -> leptokurtische distributie.
g2-3 = 0 -> mesocortische (of normale) verdeling.
g2-3 platicúrtische distributie.
Beschrijvende statistieken
