De grootste gemene deler (GCF) is het grootste getal waarmee twee of meer getallen kunnen worden gedeeld. Dit zonder enig residu achter te laten.
Dat wil zeggen, de grootste gemene deler of GCF is het hoogste getal waarmee een reeks getallen kan worden gedeeld, wat resulteert in een geheel getal.
Een deler kan formeel worden gedefinieerd als dat getal dat precies een hoeveelheid n keer in een ander zit.
Opgemerkt moet worden dat de getallen waarop de GCF wordt berekend niet nul moeten zijn.
Laten we een voorbeeld bekijken om het beter uit te leggen. Stel dat we 35 en 15 hebben. We kijken dus wat de delers van elk zijn:
- Delers van 35 → 35,7,5,1
- Delers van 15 → 15,5,3,1
Daarom is de grootste gemene deler van 35 en 15 5.
Het is vermeldenswaard dat als de gemeenschappelijke delers van twee getallen alleen 1 en -1 zijn, ze "priemgetal voor elkaar" worden genoemd.
Methoden om de grootste gemene deler te berekenen
We kunnen de volgende drie methoden onderscheiden om de grootste gemene deler te berekenen:
- Ontleding van priemfactoren: De getallen worden ontleed in priemgetallen. Om vervolgens de GCF te berekenen, nemen we de gewone getallen tot de laagste macht. Stel dat we bijvoorbeeld 216 en 156 hebben:
216/2=108
108/2=54
54/2=27
27/3=9
9/3=3
3/3=1
216=(3^3)*(2^3)
156/2=78
78/2=39
39/3=13
13/13=1
156=13*3*(2^2)
Daarom zou de grootste gemene deler tussen beide getallen zijn: (2 2) * 3 = 12
Stel nu dat we drie elementen hebben: 315, 441 en 819
315= (3^2)*7*5
441= (3^2)*(7^2)
819= (3^2)*7*13
Dan, na ze te hebben uitgesplitst, waarbij elke deler met zijn laagste macht wordt genomen, zou het resultaat zijn:
GCF = (3 2) * 7 = 63
- Het algoritme van Euclides: Bij het delen naar Kom binnen b, wordt een quotiënt verkregen c en een r. Dus de grootste gemene deler van naar Y b is hetzelfde als b Y r. Dit, gezien het volgende: a = bc + r. Laten we, om het beter te begrijpen, deze methode toepassen op het eerder getoonde voorbeeld met 216 en 156.
216/156 = 1 met rest van 60
nu delen we 156/60 = 2 met rest 36
We delen opnieuw 60/36 = 1 met rest 24
We delen opnieuw 36/24 = 1 met rest 12
En tenslotte delen we 24/12 = 2 met rest 0
Daarom is de grootste gemene deler 12. Zoals we kunnen zien, moeten we delen totdat de rest 0 is en de laatste deler de GCF is.
- Gebaseerd op het kleinste gemene veelvoud: De getallen worden vermenigvuldigd en het resultaat gedeeld door hun kleinste gemene veelvoud (LCM).
We moeten niet vergeten dat het kleinste gemene veelvoud (LCM) het kleinste getal is dat voldoet aan de voorwaarde dat het een veelvoud is van alle elementen van een reeks getallen.
Dat wil zeggen, teruggaand naar hetzelfde voorbeeld, kunnen we als volgt ontbinden:
216 = (3 3) * (2 3) en 156 = 13 * 3 * (2 2) 204 = 3 * (2 2) * 17 168 = 3 * (2 3) * 7
Het kleinste gemene veelvoud zou zijn: (3 3) * (2 3) * 13 * 17 * 7 = 334.152
Dus: GCD = 216 * 156 / 2.808 = 12
Het is vermeldenswaard dat deze methode alleen voor twee nummers werkt.
