Het ARMA-model is een stationair autoregressief model waarbij de onafhankelijke variabelen stochastische trends volgen en de foutterm stationair is.
Met andere woorden, het ARMA-model neemt autocorrelatie en het voortschrijdend gemiddelde model op in zijn regressie.
Aanbevolen artikelen: random walk-theorie, geconditioneerd gemiddelde, autoregressie.
Betekenis van ARMA
Het ARMA-model, uit het Engels, Autoregressief voortschrijdend gemiddelde het is verdeeld in twee delen:
- Autoregressief: De afhankelijke variabele keert binnen een bepaalde tijd terug naar zichzelft.
- voortschrijdend gemiddelde: Tegenslagen worden weergegeven door willekeurige processen.
AR-model
wiskundig
1. We gaan uit van het AR (p) autoregressieve model:
Waar:
Met andere woorden, de foutterm volgt een stochastisch proces (willekeurige variabele).
2. We stellen de volgende gelijkheid vast:
4. We vervangen de vorige gelijkheid in AR (p) en verkrijgen:
4. We definiëren een nieuwe polynoom die afhangt van R:
Dan,
Als we de nieuwe polynoom vermenigvuldigen met Xt en we geven alle parameters en regressors door aan de linkerkant van de gelijke, we zullen de initiële AR (p) verkrijgen.
Van het autoregressieve model blijven we zitten met de laatste vergelijking:
Dit is de bijdrage van het autoregressieve model aan het ARMA-model.
voortschrijdend gemiddelde model
Een voortschrijdend gemiddelde model is een autoregressie waarbij de regressors de fouttermen van elke periode zijnt.
wiskundig
1. We gaan uit van het autoregressieve model AR (p) waarbij de regressoren de foutterm zijn:
Net als het autoregressieve model volgt de foutterm een stochastisch proces (willekeurige variabele) zodat:
Het voortschrijdend gemiddelde model is altijd stationair, dat wil zeggen dat de onafhankelijke variabelen (lagged error-termen) willekeurige variabelen zijn. Met andere woorden, de fouttermen van de vorige periode zijn onafhankelijk van de huidige fouttermen en hebben dezelfde (identieke) kansverdeling met gemiddelde 0 en voorwaardelijke variantie.
2. We stellen de volgende gelijkheid vast:
3. We vervangen de vorige gelijkheid in de AR (p) van de foutterm en we krijgen:
4. We definiëren een nieuwe polynoom die afhangt van E:
We nemen een gemeenschappelijke factor:
Van het voortschrijdend gemiddelde model blijven we zitten met de vergelijking van punt 4:
Het ARMA (p, q)-model
wiskundig
Het algemene autoregressieve tijdreeksmodel met voortschrijdend gemiddelde vanp autoregressieve termen enwat Voortschrijdend gemiddelde termen worden uitgedrukt als:
Geen paniek! Kunnen we iets vereenvoudigen?
Je kunt dingen altijd vereenvoudigen. We herinneren ons de vergelijkingen die we eerder hebben benadrukt:
Autoregressief model
voortschrijdend gemiddelde model
We kunnen dus zien dat het ARMA-model gewoon de combinatie is van het autoregressieve model en het voortschrijdend gemiddelde model (geel gemarkeerd).