De lineaire transformatie van matrices zijn lineaire bewerkingen door matrices die de initiële dimensie van een bepaalde vector wijzigen.
Met andere woorden, we kunnen de dimensie van een vector wijzigen door deze te vermenigvuldigen met een willekeurige matrix.
Lineaire transformaties zijn de basis van de vectoren en eigenwaarden van een matrix aangezien ze lineair van elkaar afhankelijk zijn.
Aanbevolen artikelen: bewerkingen met matrices, vectoren en eigenwaarden.
wiskundig
We definiëren een matrixC een van dimensie 3 × 2 vermenigvuldigd met een vector V van dimensien = 2 zodat V = (v1, v2).
Van welke dimensie zal de resultaatvector zijn?
De vector die resulteert uit het product van de matrixC3×2met vectorV2×1zal een nieuwe V'-vector van dimensie 3 zijn.
Deze verandering in de dimensie van de vector is te wijten aan de lineaire transformatie door de matrix C.
praktijkvoorbeeld
Gezien de vierkante matrixR met afmeting 2 × 2 en de vectorV van dimensie 2.
Een lineaire transformatie van de dimensie van de vectorV het is:
waarbij de initiële dimensie van de vector V was 2 × 1 en nu de laatste dimensie van de vector Zie je3 × 1. Deze verandering in dimensie wordt bereikt door de matrix te vermenigvuldigen R.
Kunnen deze lineaire transformaties grafisch worden weergegeven? Ja natuurlijk!
We zullen de resultaatvector V 'in een vlak voorstellen.
Dan:
V = (2,1)
V ’= (6,4)
grafisch
Eigenvectoren met behulp van grafische weergave
Hoe kunnen we bepalen dat een vector een eigenvector is van een gegeven matrix door alleen maar naar de grafiek te kijken?
We definiëren de matrixD van afmeting 2 × 2:
Zijn de vectoren v1= (1,0) en v2= (2,4) eigenvectoren van de matrix D?
Werkwijze
1. Laten we beginnen met de eerste vector v1. We doen de vorige lineaire transformatie:
Dus als de vector v1 is eigenvector van de matrix D, de resulterende vector v1'En vector v1ze moeten tot dezelfde lijn behoren.
wij vertegenwoordigen v1 = (1,0) en v1’ = (3,0).
aangezien zowel v1als V1'Behoren tot dezelfde lijn, v1 is een eigenvector van de matrix D.
Wiskundig gezien is er een constanteh(eigenwaarde) zodanig dat:
2. We gaan verder met de tweede vector v2. We herhalen de vorige lineaire transformatie:
Dus als de vector v2 is eigenvector van de matrix D, de resulterende vector v2'En de vector v2 ze moeten tot dezelfde lijn behoren (zoals de bovenstaande grafiek).
wij vertegenwoordigen v2 = (2,4) en v2’ = (2,24).
sinds v2 en V2'Behoor niet tot dezelfde lijn, v2 is geen eigenvector van de matrix D.
Wiskundig gezien is er geen constanteh(eigenwaarde) zodanig dat:
