Lineaire transformatie van matrices

De lineaire transformatie van matrices zijn lineaire bewerkingen door matrices die de initiële dimensie van een bepaalde vector wijzigen.

Met andere woorden, we kunnen de dimensie van een vector wijzigen door deze te vermenigvuldigen met een willekeurige matrix.

Lineaire transformaties zijn de basis van de vectoren en eigenwaarden van een matrix aangezien ze lineair van elkaar afhankelijk zijn.

Aanbevolen artikelen: bewerkingen met matrices, vectoren en eigenwaarden.

wiskundig

We definiëren een matrixC een van dimensie 3 × 2 vermenigvuldigd met een vector V van dimensien = 2 zodat V = (v₁, v₂).

Van welke dimensie zal de resultaatvector zijn?

De vector die resulteert uit het product van de matrixC_3×2met vectorV_2×1zal een nieuwe V'-vector van dimensie 3 zijn.

Deze verandering in de dimensie van de vector is te wijten aan de lineaire transformatie door de matrix C.

praktijkvoorbeeld

Gezien de vierkante matrixR met afmeting 2 × 2 en de vectorV van dimensie 2.

Een lineaire transformatie van de dimensie van de vectorV het is:

waarbij de initiële dimensie van de vector V was 2 × 1 en nu de laatste dimensie van de vector Zie je3 × 1. Deze verandering in dimensie wordt bereikt door de matrix te vermenigvuldigen R.

Kunnen deze lineaire transformaties grafisch worden weergegeven? Ja natuurlijk!

We zullen de resultaatvector V 'in een vlak voorstellen.

Dan:

V = (2,1)

V ’= (6,4)

grafisch

Eigenvectoren met behulp van grafische weergave

Hoe kunnen we bepalen dat een vector een eigenvector is van een gegeven matrix door alleen maar naar de grafiek te kijken?

We definiëren de matrixD van afmeting 2 × 2:

Zijn de vectoren v₁= (1,0) en v₂= (2,4) eigenvectoren van de matrix D?

Werkwijze

1. Laten we beginnen met de eerste vector v₁. We doen de vorige lineaire transformatie:

Dus als de vector v₁ is eigenvector van de matrix D, de resulterende vector v₁'En vector v₁ze moeten tot dezelfde lijn behoren.

wij vertegenwoordigen v₁ = (1,0) en v₁’ = (3,0).

aangezien zowel v₁als V₁'Behoren tot dezelfde lijn, v₁ is een eigenvector van de matrix D.

Wiskundig gezien is er een constanteh(eigenwaarde) zodanig dat:

2. We gaan verder met de tweede vector v₂. We herhalen de vorige lineaire transformatie:

Dus als de vector v₂ is eigenvector van de matrix D, de resulterende vector v₂'En de vector v₂ ze moeten tot dezelfde lijn behoren (zoals de bovenstaande grafiek).

wij vertegenwoordigen v₂ = (2,4) en v₂’ = (2,24).

sinds v₂ en V₂'Behoor niet tot dezelfde lijn, v₂ is geen eigenvector van de matrix D.

Wiskundig gezien is er geen constanteh(eigenwaarde) zodanig dat: