De exponentiële functie is de basis van continue samenstelling, die het resultaat is van het oneindig verhogen (wanneer p neigt naar oneindig) de frequentie van de berekening van belang in een samengestelde samenstelling.
Met andere woorden, de exponentiële functie is een samengestelde samenstelling waarbij de tijdsperioden tussen renteberekeningen oneindig klein (zeer klein) zijn.
De formule voor de exponentiële functie is:
Continue compounding kan worden uitgedrukt als
Redelijke overeenkomsten tussen continue hoofdletters en de exponentiële functie, toch?
We definiëren de variabelen van continue hoofdletters:
- Ct + 1: kapitaal op tijdstip t + 1 (later).
- Ct: kapitaal op tijdstip t (huidig).
- ikt: rente op tijdstip t.
- p: frequentie van samenstelling of periodiciteit.
- t: tijd.
Toepassingen
In de financiële wereld vinden we de exponentiële functie vaak terug in de formule voor continue kapitalisatie van toekomstige inkomsten en in sommige econometrische regressies.
In de economie is het niet zo populair omdat de meeste micro- en macro-economische modellen uitgaan van een afnemend marginaal rendement op hun productiefactoren. Bijgevolg nemen ze aan dat de factoren logaritmische rendementen volgen en daarom terugkeren in tegenstelling tot de exponentiële functie.
Voorbeeld exponentiële functie
We gaan ervan uit dat we een Amerikaanse investeerder zijn die een skipiste wil bouwen in Pico Bolívar, Venezuela. De initiële investering is $ 100 MM tegen een jaarlijkse rente van 100%. Deze investeerder heeft voldoende onderhandelingsmacht om de periodiciteit van de berekening van de rente op zijn investering te bepalen.
Welk alternatief zal de Amerikaanse investeerder verkiezen?
Om de vraag te beantwoorden, zullen we het kapitaal op tijd moeten berekenen t + 1 (Ct + 1) die de belegger zal ontvangen.
Informatie beschikbaar:
Ct: $ 100MM
ikt: 100%
t: 1 (jaarlijks)
Ct + 1: ?
| Alternatief | NAAR | B | C | D | EN | F |
| Periodiciteit | 1 | 2 | 50 | 100.000 | 10.000.000 | 1.000.000.000 |
We vervangen de informatie die we hebben in de twee formules (functie exp. En continu hoofdlettergebruik)
We behandelen de gegevens zonder de MM.
We delen (Ct + 1) per 100 in de exponentiële functie om het effect van kapitaal te elimineren. Op deze manier verplaatsen we de komma twee plaatsen naar voren. Dit effect is dan ook zichtbaar in de volgende kolommen met resultaten.
Resultaten:
| Formule | Continue bereiding | Exponentiële functie |
| Periodiciteit (p) of (n) | Ct + 1 | Ct + 1/100 |
| 1 | 200 | 2 |
| 2 | 225 | 2,25 |
| 50 | 269,1588029 | 2,691588029 |
| 100.000 | 271,8268237 | 2,718268237 |
| 10.000.000 | 271,8281694 | 2,718281694 |
| 1.000.000.000 | 271,8282031 | 2,718282031 |
Wanneer n of p naar oneindig neigen, in dit geval vanaf 10.000.000, kunnen we zien dat de waarden convergeren op een bepaald getal. Voor continue samenstelling is dit 271,8281 en voor exponentiële functie is dit 2,718281. De twee reeksen convergeren op en.
Reactie op oefening opgelost
Dus welk alternatief zal de Amerikaanse investeerder uiteindelijk kiezen, als uit een aantal periodiciteiten het kapitaal op t + 1 (Ct + 1) kraampjes tegen een bepaalde waarde?
- Als deze belegger kapitaal als een discrete variabele behandelt, dan zal hij alternatief D kiezen. Aangezien uit alternatief C kapitaal op t + 1 (Ct + 1) convergeert naar $ 271MM.
- Als deze belegger kapitaal als een continue variabele beschouwt, dan kiest hij voor het alternatief met meer periodiciteiten. In dit geval alternatief F. Zelfs als het uiteindelijk convergeert op een waarde, houdt de belegger rekening met alle decimalen.
Deze convergentie impliceert dat kapitaal op t + 1 (Ct + 1), berekend met behulp van de continue samengestelde formule of de exponentiële functie, volgt afnemende marginale meeropbrengsten. Met andere woorden, (Ct + 1) kan worden uitgedrukt als een logaritmische functie.
schematisch:
- Periodiciteit = exponentiële functie.
- Kapitaal naar t + 1 (Ct + 1) = logaritmische functie.
Grafische weergave
In de grafiek kun je zien hoe de exponentiële functie, die oneindig continu is, veel sneller groeit dan de beperkte continue hoofdletters. Wanneer we spreken van continue kapitalisatie, spreken we van een soort samengestelde kapitalisatie, maar met een grotere periodiciteit, omdat het in de praktijk onmogelijk is om rente oneindig te kapitaliseren. Ik bedoel, we kunnen niet profiteren van elke seconde.