De centrale limietstelling (TCL) is een statistische theorie die stelt dat, gegeven een voldoende grote willekeurige steekproef van de populatie, de verdeling van de steekproefgemiddelden een normale verdeling zal volgen.
Verder stelt de TCL dat naarmate de steekproefomvang toeneemt, het steekproefgemiddelde dichter bij het populatiegemiddelde komt. Daarom kunnen we door middel van de TCL de verdeling van het steekproefgemiddelde van een bepaalde populatie met een bekende variantie definiëren. De verdeling zal dus een normale verdeling volgen als de steekproefomvang groot genoeg is.
Belangrijkste eigenschappen van de centrale limietstelling
De centrale limietstelling heeft een reeks zeer bruikbare eigenschappen op statistisch en probabilistisch gebied. De belangrijkste zijn:
- Als de steekproefomvang groot genoeg is, zal de verdeling van de steekproefgemiddelden ongeveer een normale verdeling volgen. De TCL beschouwt een steekproef als groot wanneer de grootte groter is dan 30. Daarom, als de steekproef groter is dan 30, zal het steekproefgemiddelde een verdelingsfunctie hebben die dicht bij een normale ligt. En dit geldt ongeacht de vorm van de distributie waarmee we werken.
- Het populatiegemiddelde en het steekproefgemiddelde zijn hetzelfde. Dat wil zeggen dat het gemiddelde van de verdeling van alle steekproefgemiddelden gelijk zal zijn aan het gemiddelde van de totale populatie.
- De variantie van de verdeling van de steekproefgemiddelden zal σ² / n zijn. Dat is de variantie van de populatie gedeeld door de steekproefomvang.
Dat de verdeling van het steekproefgemiddelde lijkt op een normaal is enorm nuttig. Omdat de normale verdeling heel gemakkelijk is toe te passen om hypothesetests uit te voeren en betrouwbaarheidsintervallen te construeren. In statistieken is het heel belangrijk dat een verdeling normaal is, aangezien veel statistieken dit type verdeling vereisen. Bovendien zal de TCL ons in staat stellen om conclusies te trekken over het populatiegemiddelde via het steekproefgemiddelde. En dat is erg handig als we door gebrek aan middelen geen gegevens van een hele populatie kunnen verzamelen.
Voorbeeld van de centrale limietstelling
Stel dat we de historische gemiddelde rendementen willen analyseren van de S&P 500-index, die, zoals we weten, ongeveer 500 bedrijven bevat. Maar we hebben niet genoeg informatie om alle 500 bedrijven in de index te analyseren. In dit geval zou de gemiddelde winstgevendheid van de S&P 500 het populatiegemiddelde zijn.
Nu kunnen we, na de TCL, een steekproef nemen van deze 500 bedrijven om de analyse uit te voeren. De enige beperking die we hebben is dat er in de steekproef meer dan 30 bedrijven moeten zijn om aan de stelling te voldoen. Dus stel je voor dat we willekeurig 50 bedrijven uit de index halen en het proces meerdere keren herhalen. De te volgen stappen in het voorbeeld zijn de volgende:
- We kiezen de steekproef van ongeveer 50 bedrijven en verkrijgen de gemiddelde winstgevendheid van de hele steekproef.
- We kiezen continu 50 bedrijven en halen de gemiddelde winstgevendheid.
- De verdeling van alle gemiddelde rendementen van alle gekozen steekproeven zal een normale verdeling benaderen.
- Het gemiddelde rendement van alle geselecteerde steekproeven zal het gemiddelde rendement van de totale index benaderen. Zoals blijkt uit de centrale limietstelling.
Daarom kunnen we door gevolgtrekking uit het gemiddelde rendement van de steekproef het gemiddelde rendement van de index benaderen.