De stelling van Darmois is een stelling die het mogelijk maakt om een statistiek T te vinden voor een parameter θ met de eigenschap voldoende.
In nog eenvoudiger bewoordingen maakt het het mogelijk om de eventuele wiskundige uitdrukking van een voldoende statistiek te vinden.
Met betrekking tot het Fisher-Neyman factoringcriterium kunnen we een afweging maken. Het factoringcriterium van Fisher-Neyman dient zowel om te controleren of een statistiek voldoet aan de eigenschap voldoende, en om de wiskundige uitdrukking van een voldoende statistiek te vinden (als deze bestaat). Daarentegen laat de stelling van Darmois alleen het vinden van de wiskundige uitdrukking (als deze bestaat) van een voldoende statistiek toe.
Laten we zeggen dat terwijl het Fisher-Neyman factoringcriterium vooruit (zoeken) en achteruit (controleren) beweegt, de stelling van Darmois alleen vooruit gaat (zoeken).
Darmois stelling formule
Theoretisch wordt het uitgedrukt, gegeven een eenvoudige willekeurige steekproef van een willekeurige variabele X met dichtheidsfunctie f (x; θ) met θ ∈ Ω. Als deze functie tot de exponentiële familie behoort, dat wil zeggen, kan deze zo worden uitgedrukt dat:
f (x; θ) = β (θ) × b (x) × e (a (x) × α (θ)
Dan is de statistiek T = T (x1,…, xn) = Σ a (x)
Om berekeningen te vergemakkelijken, wordt meestal logaritmische notatie uitgevoerd:
lnf (x; θ) = lnβ (θ) + lnb (x) + (a (x) × α (θ))
Natuurlijk is het moeilijk om al deze wiskundige notaties te begrijpen. Er verschijnen veel onbekenden, veel letters, veel operators. Laten we het herdefiniëren met alledaagse woorden. Hiertoe beginnen we met de theoretische definitie toegepast op een voorbeeld:
Stel een willekeurige steekproef van 50 kinderen (eenvoudige steekproef) aan wie we vragen hoeveel geld ze per week uitgeven aan snoep (willekeurige variabele X) met een gegeven dichtheidsfunctie (zie dichtheidsfunctie). Dus, als deze dichtheidsfunctie we het als volgt kunnen uitdrukken:
We zullen vaststellen dat de voldoende statistiek de som is van de uitdrukking a (x)
De delen van de formule zijn als volgt gedefinieerd:
- lnβ (θ): Het is een functie die alleen afhangt van de parameter (in ons geval het gemiddelde)
- lnb (x): Het is een functie die alleen afhangt van de willekeurige variabele X
- a (x): Het is een functie die alleen afhangt van X en vermenigvuldigt α (θ)
- α (θ): Het is een functie die alleen afhangt van de parameter (in ons geval het gemiddelde)
Stelling van Darmois in de praktijk
Hoewel we allemaal de mogelijkheid en tools hebben om nieuwe statistieken te ontdekken, is dit zelden de norm. Met andere woorden, hoogleraren economie en experts in het veld doen onderzoek naar deze onderwerpen.
Op persoonlijke basis is het moeilijk om iemand te vinden die zich toelegt op het doen van dit soort onderzoek. Dus in de praktijk is het belangrijkste van deze stelling om te begrijpen waar deze statistieken die we gebruiken vandaan komen.
Als iemand bijvoorbeeld ontdekte dat het gemiddelde een voldoende statistiek is, heeft hij waarschijnlijk dit proces gebruikt.
