Het Black-Scholes-model is een formule die wordt gebruikt om de prijs van een financiële optie te waarderen. Deze formule is gebaseerd op de theorie van stochastische processen.
Het Black-Scholes-model dankt zijn naam aan de twee wiskundigen die het hebben ontwikkeld, Fisher Black en Myron Scholes. Black-Scholes werd oorspronkelijk gebruikt om opties zonder dividend te waarderen. Of wat hetzelfde is, om te proberen te berekenen wat de "eerlijke" prijs van een financiële optie zou moeten zijn. Later werd de berekening uitgebreid voor allerlei opties.
Dit model ontving in 1997 de Nobelprijs voor economie. Op deze manier is het een van de fundamentele pijlers van de moderne financiële theorie geworden. Veel analisten gebruiken deze methode om te beoordelen wat de juiste prijs voor een financiële optie zou moeten zijn.
Aannames van het Black-Scholes-model
Alvorens in te gaan op de formule en de daaropvolgende berekening, is het noodzakelijk om enkele overwegingen te maken over het model. Enkele uitgangspunten waarmee het model rekening houdt en die we hieronder zullen opsommen:
- Er zijn geen transactiekosten of belastingen.
- De risicovrije rente is constant voor alle looptijden.
- Het aandeel keert geen dividend uit.
- De volatiliteit blijft constant.
- Short selling is toegestaan.
- Er zijn geen risicovrije arbitragemogelijkheden.
- Neem aan dat de kansverdeling van de rendementen een normale verdeling is.
Black-Scholes-formule
De prijsformule van Black-Scholes wordt als volgt uitgedrukt:
Klaar om te investeren in de markten?
Een van de grootste brokers ter wereld, eToro, heeft beleggen op de financiële markten toegankelijker gemaakt. Nu kan iedereen in aandelen beleggen of fracties van aandelen kopen met 0% commissie. Begin nu met beleggen met een aanbetaling van slechts $ 200. Onthoud dat het belangrijk is om te trainen om te investeren, maar tegenwoordig kan natuurlijk iedereen het.
Uw kapitaal is in gevaar. Er kunnen andere kosten van toepassing zijn. Ga voor meer informatie naar stocks.eToro.com
Ik wil beleggen met Etoro
Waar:
- C = Aankoopprijs van de optie vandaag (T = 0) in euro's.
- T = looptijd in jaren (3 maanden = 0,25 jaar).
- r = rente zonder risico. De winstgevendheid van de staatsschuld zoveel per één
- sigma = volatiliteit volgens één.
- X = Uitoefenprijs van de aankoopoptie in euro.
- S = Aandelenkoers in T = 0 in euro's.
- N (d1 en d2) = Waarde van de cumulatieve kansfunctie van een normale verdeling met nulgemiddelde en één standaarddeviatie.
Black-Scholes rekenvoorbeeld
Stel we willen de waarde berekenen van een call-optie, die 3 maanden afloopt, met een uitoefenprijs van 40 euro. De koers van het aandeel is 50 euro. De jaarlijkse volatiliteit is 30% (0,3). En de 3-maands risicovrije rente is 10%. Het aandeel keert de komende drie maanden geen dividend uit.
Daarom:
- C = Aankoopprijs van de optie vandaag (T = 0) in euro's.
- T = 0,25.
- r = 0,1.
- sigma = 0,3.
- X = 40 euro.
- S = 50 euro.
We berekenen d1 en d2:
- d1 = 1,72.
- d2 = 1,57.
- N (d1) = 0,9573.
- N (d2) = 0,9418.
Overigens is het voor het verkrijgen van de laatste waarden van d1 en d2 noodzakelijk om de waarschijnlijkheidstabellen te gebruiken.
Zodra we alle gegevens hebben, vervangen we in de initiële formule:
Zo is volgens Black-Scholes de juiste prijs voor onze calloptie 11.123 euro.
Beperkingen van het Black-Scholes-model
Hoewel het Black-Scholes-model een briljante oplossing biedt voor het berekenen van een passende prijs voor een optie, kent het enkele beperkingen.
Het is een model, dat wil zeggen een aanpassing van de werkelijkheid. Daarom vertegenwoordigt het, als een aanpassing aan de realiteit, het niet perfect. Black-Scholes berekent de prijs voor opties die alleen op expiratie kunnen worden uitgeoefend of afgerekend. Amerikaanse opties kunnen echter vóór de vervaldatum worden uitgeoefend. Bovendien gaat het er ook van uit dat het aandeel geen dividend uitkeert. En dat zowel de risicovrije rente als de volatiliteit constant zijn. Wat in werkelijkheid ook niet het geval is, aangezien veel aandelen dividend uitkeren. Ten slotte veranderen de volatiliteit en de risicovrije rente in de loop van de tijd, dus deze veronderstelling is ook niet waar.
Wiskundig model
