Het zwaartepunt van een driehoek is het punt waar de medianen van de figuur elkaar snijden. Het is ook bekend als een zwaartepunt.
Er moet aan worden herinnerd dat de mediaan het segment is dat het hoekpunt van de driehoek verbindt met het middelpunt van de tegenoverliggende zijde. Elke driehoek heeft dus drie medianen.
In de bovenstaande driehoek is het zwaartepunt bijvoorbeeld punt O, waarbij de medianen de segmenten AF, BD en CE zijn.
Een belangrijke eigenschap van het zwaartepunt is dat de afstand tot elk hoekpunt twee keer zo groot is als de afstand tot de tegenoverliggende zijde.
Om het beter uit te leggen, kunnen in elke mediaan twee delen worden onderscheiden:
- De afstand van het hoekpunt tot het zwaartepunt, dat is 2/3 van de lengte van de mediaan
- Het resterende 1/3, dat is de afstand van het zwaartepunt tot het middelpunt van de andere kant.
In de afbeelding hierboven is het bijvoorbeeld waar dat:
Hoe het zwaartepunt van een driehoek te vinden?
Om het zwaartepunt van de driehoek te vinden, moeten we er rekening mee houden dat, als we de coördinaten van de drie hoekpunten van de driehoek kennen, de coördinaten van het zwaartepunt overeenkomen met het rekenkundig gemiddelde. Stel dat de hoekpunten zijn:
Dan zouden de coördinaten van het zwaartepunt, dat we O zullen noemen, zijn:
Nu is het ook mogelijk om het zwaartepunt te vinden als we de vergelijkingen hebben van de lijnen die ten minste twee van de medianen bevatten.
Bedenk dat in analytische meetkunde een lijn kan worden uitgedrukt als een eerste-orde algebraïsche vergelijking als:
y = xm + b
In de getoonde vergelijking is y de coördinaat op de ordinaat-as (verticaal), x is de coördinaat op de abscis (horizontaal), m is de helling (helling) die de lijn vormt ten opzichte van de abscis, en b is het punt waar de lijn de ordinaat-as snijdt.
Laten we een voorbeeld bekijken om het bovenstaande beter te begrijpen.
Voorbeeld van zwaartepunt
Stel dat we een driehoek hebben waarvan we twee hoekpunten kennen:
A (0,4) en B (-2,1)
Nu is het verder bekend dat het middelpunt van de zijde tegenover hoekpunt A (3,1) is, en het middelpunt van de zijde tegenover hoekpunt B (4, 2,5). Het is de moeite waard om te verduidelijken dat we de puntkomma gebruiken om niet te worden verward met de komma die de decimalen scheidt.
Eerst zullen we de vergelijking vinden van de lijn die de mediaan bevat die begint bij hoekpunt A, rekening houdend met het feit dat de helling bij het passeren van het ene punt naar het andere altijd hetzelfde moet zijn. De helling is de variatie in de verticale as tussen de variatie in de horizontale as:
Wat we hebben gedaan is aannemen dat de lijn door een punt (x1, y1) gaat, dat het hoekpunt A (0, 4) is, en door het punt (x2, y2) dat het middelpunt is van zijn tegenoverliggende zijde (3 , 1).
Vervolgens doen we hetzelfde met hoekpunt B (-2,1) en het middelpunt van zijn tegenoverliggende zijde (-4, -2,5):
De volgende stap egaliseren we de rechterkant van de twee vergelijkingen die zijn gevonden om de waarde op de X-as op te lossen wanneer beide samenvallen:
Vervolgens lossen we een van de vergelijkingen op om de waarde van y te vinden:
Daarom is het zwaartepunt van de driehoek het punt (2,2) in het Cartesiaanse vlak.