De Taylorpolynoom is een polynoombenadering van een functienee tijden af te leiden op een bepaald punt.
Met andere woorden, het Taylor-polynoom is een eindige som van lokale afgeleiden die op een specifiek punt worden geëvalueerd.
wiskundig
Wij definiëren:
f (x): functie van X.
f (x0): functie vanXop een bepaald punt x0. Formeel staat er geschreven:
F(n)(X):nee-de afgeleide van de functie f (x).
Toepassingen
De Taylor-expansie wordt over het algemeen toegepast op financiële activa en producten waarvan de prijs wordt uitgedrukt als een niet-lineaire functie. De prijs van een kortlopend schuldbewijs is bijvoorbeeld een niet-lineaire functie die afhangt van de rentetarieven. Een ander voorbeeld zijn opties, waarbij zowel risicofactoren als winstgevendheid niet-lineaire functies zijn. De berekening van de duur van een obligatie is een Taylorpolynoom van de eerste graad.
Taylor polynoom voorbeeld
We willen de tweede orde van de Taylorbenadering van de functie f (x) vinden in een punt x0=1.
1. We maken de relevante afgeleiden van de functie f (x).
In dit geval vragen ze ons tot de tweede orde, dus we zullen de eerste en tweede afgeleiden van de functie f (x) maken:
- Eerste afgeleide:
- Tweede afgeleide:
2. We vervangen x0= 1 in f (x), f '(x) en f' '(x):
3. Zodra we de waarde van de afgeleiden hebben op het punt x0= 1, we vervangen het in de Taylor-benadering:
We fixen de polynoom een beetje:
Waarden controleren
De Taylor-benadering zal adequaat zijn naarmate x . dichter bij0 de waarden zijn. Om dit te controleren, vervangen we waarden in de buurt van x0 zowel in de oorspronkelijke functie als in de Taylor-benadering hierboven:
Wanneer x0=1
Oorspronkelijke functie:
Taylor-benadering:
Wanneer x0=1,05
Oorspronkelijke functie:
Taylor-benadering:
Wanneer x0=1,10
Oorspronkelijke functie:
Taylor-benadering:
In het eerste geval wanneer x0= 1, zien we dat zowel de oorspronkelijke functie als de Taylor-benadering ons hetzelfde resultaat geven. Dit komt door de samenstelling van de Taylor-polynoom die we hebben gemaakt met behulp van de lokale afgeleiden. Deze derivaten zijn geëvalueerd op een specifiek punt, x0= 1, om een waarde te verkrijgen en de polynoom te creëren. Dus hoe verder weg van dat specifieke punt, x0= 1, hoe minder geschikt de benadering zal zijn voor de oorspronkelijke niet-lineaire functie. In de gevallen waarin x0= 1,05 en x0= 1,10 is er een significant verschil tussen het resultaat van de oorspronkelijke functie en de Taylor-benadering.
Maar… het verschil is erg klein, nietwaar?
Taylor polynoom representatie
Als we de extremen uitbreiden (waar de benadering weg beweegt van x0=1):
Op het eerste gezicht lijkt het misschien onbeduidend, maar wanneer we aan de grafiek werken en benaderingen maken, is het erg belangrijk om rekening te houden met ten minste de eerste vier decimalen. De basis van de benaderingen is precisie.